16.5. системы массового обслуживания с ограниченной длиной очереди

16.5. системы массового обслуживания с ограниченной длиной очереди

Граф состояний многоканальной системы массового обслуживания, имеющей да каналов, с ограниченной очередью, число мест в которой ограничено величиной /, при принятых допущениях (см. п. 16.3) имеет вид, изображенный на рис. 16.2.

та

та

ті

Рис. 16.2

В системе с ограниченной длиной очереди вероятности состояний

Sv S2,Sm находят по формулам

Р,=^Ро 0 = 1,2,..., да), а вероятности состояний S S ~,S , — с помощью формул

Pt= , ,_яРо (і = т + 1,...,т + 1).

Вероятность Рп подсчитывают по формуле

*0 =

т -і т+1

+ I

В большинстве практических задач отношение — < 1. Формула

да

для PQ используется в виде

^0 =

т+1

1-(р/да)'

^/! да!-да 1-р/т

435

р — р —

± отк л т+1

^P0=(2/3)3^-0,122 = 0,048,

P

mj

mim

1! 2! 3! 3!-3 1-2/3 да!

0,122-23

3!

+ 2

ґ2Л2

+ 3-

z^3

= 0,35.

Таким образом, i> 0,048, Af 0,35 машины. •

OTIC ОлС

16.6. Системы массового обслуживания с ожиданием

Граф состояний системы массового обслуживания с ожиданием аналогичен графу состояний системы с ограниченной длиной очереди при условии, что граница очереди отодвигается в бесконечность. Такой граф состояний изображен на рис. 16.3.

7иц

Рис. 16.3

тиц

тц

Вероятности состояний системы с ожиданием находят по формулам

436

Pt=^P0 0 = 1,2,..., т),

Pt= ,H,-m^o 0' = m + l,...,m + k,...). /и! /и

При р//я< 1 для определения вероятности Р0 используют формулу

*0 =

/Я _ J

уР_ + _н

О Пример. В порту имеется два причала для разгрузки грузовых судов. Интенсивность потока судов равна 0,8 судна в сутки. Среднее время разгрузки одного судна составляет 2 суток. Предполагается, что очередь ожидающих разгрузки судов может быть неограниченной длины.

Найти среднее число занятых причалов и среднее время пребывания судна в порту.

Имеем: т = 2, А, = 0,8сут_1, ц = 1/7^,бсл = 0,5 сут-1. Находим:

р = А/ц = 0,8/0,5 = 1,6,

£oi! w!(m-p)_ m=pq, q==>m = ,6,

1! 2! 2! (2-1,6)

= 0,11,

Mn„ =

m+l

1

0,11 i,63 =2g mm! (1-p/m)2 2-2!(1-0,8)2 ' '

Итак, т = 1,6 причала, Гож = 3,5 суток. •