17.2. поле предпочтений потребителя
17.2. поле предпочтений потребителя
Если в экономике выделено и видов товаров, то стратегией потребителя Q называется и-мерный вектор:
Xj,..., Xj,..., хп),
где х. (j 1, 2, и) — количество у-го товара, приобретенного (проданного) этим потребителем за некоторый единичный отрезок времени.
442
Число х. считается положительным, если у'-й товар приобретается, и отрицательным, если этот товар продается.
Относительно множества X(Q) всевозможных стратегий потребителя Q обычно делают следующие предположения.
Г. Множество X(Q) является замкнутым подмножеством и-мерного пространства R".
Таким образом, если некоторый и-мерный вектор можно с любой степенью точности приблизить стратегией потребителя Q, то и сам этот вектор является стратегией потребителя Q.
2°. Множество X(Q) выпукло, т.е. если хь х2 — стратегии потребителя Q, ос > О, Р>0иа + Р=1, то и вектор ах, + рх2 является стратегией этого потребителя.
3°. Множество X(Q) ограничено снизу, т.е. существует число Ь такое, что для всех стратегий х (xv х., хп) справедливы неравенства
xj>b, y=l,2,...,/i.
Естественно предположить, что потребитель Q, исходя из потребительских свойств товаров, всегда может определить либо что одна из двух его стратегий х и у лучше другой (х > у или у > х), либо что они для него безразличны (х ~ у). При этом стратегия х не хуже стратегии у (х > у), если х > у или х ~ у.
Таким образом, можно считать, что на множестве стратегий потребителя Q задано отношение предпочтения, удовлетворяющее следующим условиям:
а) для любой стратегии х є X(Q) х>х;
б) из условий х > у, у >z, где х, у, z є X(Q), всегда следует,
что х > z;
в) для любых стратегий х, у є X(Q) либо х > у, либо у > х.
Если на множестве стратегий X(Q) потребителя Q задано некоторое отношение предпочтения >, то говорят, что потребитель Q имеет поле предпочтений (X(Q), >).
Отношение предпочтения > на множестве X(Q) называется непрерывным, если множество {(х, у) | х > у} является открытым подмножеством прямого произведения X(Q) X X(Q).
Иными словами, непрерывность предпочтения означает, что если для потребителя Q стратегия х0 лучше стратегии у0, а стратегии х и у достаточно близки соответственно к х0 и у0, то для этого потребителя и стратегия х лучше стратегии у.
443
Отношение предпочтения > на выпуклом множестве стратегий X(Q) называется сильно выпуклым, если из условий х > у, х, у є X(Q), а > О, Р > О, а + Р = 1 следует, что ах + РУ > у.
Предположим, что потребитель Q имеет поле предпочтений (X(Q), >), a V — некоторое подмножество множества стратегий Д0.
Стратегия х є V является наиболее предпочтительной стратегией в множестве V, если х > у для всех стратегий у eV.
Наиболее предпочтительная стратегия в множестве всех стратегий X(Q) потребителя Q называется точкой насыщения этого потребителя.
Если при заданном векторе цен на товары р = (pv р., рп) известен бюджет / потребителя Q, то поведение этого потребителя на рынке определяется наиболее предпочтительной стратегией в множестве стратегий х = (xv х.,хп) є X(Q), удовлетворяющих бюджетному ограничению
17.3. Модель дезагрегированной экономики и конкурентное равновесие
Предположим, что в экономике, включающей / потребителей Qv Q., 0,ит производителей Пр П^, Пт, выделено и видов товаров. При этом:
каждый потребитель Q. (/=1,2,..., /) имеет поле предпочтений (АЩ), >) и обладает некоторой первоначальной собственностью
at =(аІЬ...,ац,...,аіп),
где а.. — количество у'-го товара, находящегося в распоряжении потребителя Q.;
каждый производитель Пк (к = 1,2,т) располагает технологическим множеством У(Пк), содержащим нулевой вектор;
прибыль каждого производителя Пк распределяется между всеми потребителями, доля участия потребителя Q. в прибыли производителя Пк задана и равна а.к (/ = 1, 2,I; к= 1, 2,т).
444
Набор из / + т + 1 векторов
. * * * * * * *.
(Xj ,...,Xj ,...,Х/ ,У ,—,Ук,--;Ут,Р ),
где
х* (х*и...,хІ;...,х*п) є X(Qi), і 1,2,...,I,
Ук = (Укі>•••>Уц>•••>Укп) є ^(Пк), к = 1,2,т,
ар* = (p*v ...,р*,— вектор цен на товары, называется конкурентным равновесием, если выполняются следующие условия:
каждый производитель Пк (к = 1, 2,/и), используя производственный процесс ук, при векторе цен р получает максимальную прибыль пк(р ),т.е.
л л
4(f) = ^Ук/Р*,= ™х£у„р], у=1 у=1
где максимум берется по всем ук = (ук1,у^,у^) є Y(nk);
стратегияxt (/=1,2,...,/)является наиболее предпочтительной среди всех стратегий х, = {ха, ...,х.., хы) є X(Qt), удовлетворяющих бюджетному ограничению, т.е.
л и т
^Р*ху < Y,p*jaij + Хал(/);
У=1 У=1 *=1
соблюдается баланс совокупного предложения и спроса по всем товарам, т.е.
/ / т
( I
к=1
г=1 1=1 ( I
5Л + 5>і
i= k= J
j = 1,2,..., и.
Конкурентное равновесие в приведенной модели дезагрегированной экономики всегда существует при следующих дополнительных ограничениях (теорема Эрроу и Дебре):
а) совокупное технологическое множество
Т = і,Ук I Ук є Y(Uk), к = 1,2,/и J
выпукло и замкнуто в пространстве R", причем TnRn+ = {Q}, Tn(-T) = {Q};
445
б) множество стратегий X(Qt) (/ = 1, 2,/) потребителя б, является выпуклым, замкнутым и ограниченным снизу в пространстве R";
в) отношение предпочтения >;. (/ = 1, 2, /) непрерывно и
сильно выпукло на множестве и ни для одного потребителя
нет точки насыщения;
г) первоначальная собственность а, = (a.j,я~,ajn) (і 1, 2,
/) потребителя Q. положительна, т.е. существует стратегия
xt (хп,xif хіп) є X(Q) такая, что
ау>ху> J= l'2> Набор из / + /я векторов
(хІ5X,-,X/, Уі,..., Ук, Ут),
где
х= (хд,х..,х.п) є X(Q.) (/=1,2,...,/),
Ук=<Укі> -'Уф ->yJ є Y(uk> (* = !. 2> называется совместным распределением производства и потребления, если
/ / т
X*? * + •/ = 2' •"' «•
i=l i=l fc=l
Распределение (Xj*,..., х*,..., х,*, у[,..., у*к,..., у*т) называется оптимальным по Парето, если не существует распределения
(Х,X,-,Х/5 Уі,..., Ук,Ут), УДОВЛеТВОрЯЮЩеГО УСЛОВИЯМ Xj > X, ,
/= 1, 2,...,/, а для некоторого / х, > х*.
Основное свойство конкурентного равновесия. Если набор векторов
(x~i,...,x*,х/, уі,уі,fm, р*)
является конкурентным равновесием в модели дезагрегированной экономики, удовлетворяющей условиям «а»—«г», то соответствующее распределение (xj",..., х*,..., х], у{,..., у*к,..., у*т) оптимально по Парето.
Приложения
449
451
Критические точки
(kv к2 — числа
Р=0,9
Приложение 5
Приложение 6
Критические точки распределения Стьюдента
(значения t , соответствующие вероятности а = Р( Т > f ) с к степенями свободы)
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы