1.17. многочлены

1.17. многочлены

Многочленом от неизвестного х называют выражение вида а0х" + ахх"~х +... + ап1х + ап,

где а0, av anV ап — некоторые числа.

Числа aQ, av апХ — коэффициенты при степенях х, а ап — свободный член многочлена.

Наивысшую степень х, входящую в многочлен с ненулевым коэффициентом, называют степенью многочлена. Степень много-члена/(х) обозначают deg/(x).

Два многочлена считают равными, если при одинаковых степенях х стоят равные коэффициенты.

Многочлены можно складывать и перемножать. Например, если/(х)=х3-2х2-3, &<р(х)=х2-х + 2,то

fix) + ф(х) = (х3 2Х2 3) + (х2-х + 2) = х3 х2-х 1;

Дх)ф(х) = (х3 2Х2 3) (х2 х + 2) = х5 2х4 Ъх2 х4 + Ъ? + Зх +

+ 2Х3 4Х2 6 = х5 Зх4 + 4Х3 7Х2 + Зх 6.

16

Для любых двух многочленов fix) и ф(х) можно найти такие многочлены q(x) и ripe), что

f(x) = (p(x)q(x) + r(x),

где degrix) < degqix) или г(х) = 0. Многочлены q(x) и г(х), удовлетворяющие этому условию, определены однозначно. Их соответственно называют частным и остатком от деления/(х) на ф(х).

О Пример. Разделить многочлен fix) = 2х3 Зх2 + 5х 4 на ф(х) =х2-4х+ 3. Имеем

2х3-Зх2 + 5х-4 |х2-4х+3

2х3-8х2 + 6х 2х + 5

5Х2х-4 5х2-20х+15 19х-19

Здесь #(х) = 2х + 5 — частное, г(х) = 19х 19 — остаток от деления fix) на ф(х). •

Если остаток от деления многочлена fix) на многочлен ф(х) тождественно равен 0, т.е./(х) = ф(х)#(х), то говорят, что fix) нацело делится на ф(х).

Число а называют корнем многочлена fix) йдх" + axx"~l + ...

... + anlx + ап, если

/(ос) = а0а" + а^" +... + а^а + ап = 0.

Например, число ос 2 — корень многочлена fix) = Зх3 2Х2 --10х + 4,таккак/(2) = 3 23 2 2210 -2 + 4 = 0. Свойства корней многочлена:

Г. Многочлен степени и не может иметь более чем и различных корней.

2°. Если а — корень многочлена fix), то /(х) нацело делится на (х а), т.е.Дх) = (х a)qix).

3°. Корни многочлена ах2 + Ъх + с (второй степени) можно найти по формуле

-Ъ + yjb1 4ас . ,2 .

х12 = (если о Аас > 0).

2а

17