1.19. графики элементарных функций

1.19. графики элементарных функций: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.

1.19. графики элементарных функций

Целая рациональная функция (многочлен):

Линейная функция у ах + Ъ (рис. 1.1). Графиком функции является прямая линия. Функция возрастает при а > 0 и убывает

( Ъ >

при а < 0. Оси координат пересекаются прямой в точках А —; 0

^ а

и 5(0; Ь). В случае Ъ = 0 получаем прямую пропорциональность: у = ах (рис. 1.2). График функции у ах проходит через начало координат.

Квадратичная функция у ах2 + Ьх + с (рис. 1.3). Графиком функции является парабола с осью симметрии, параллельной оси ординат. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, при а < 0 —

18

Рис. 1.1

Рис. 1.2

вниз. Ось ординат пересекается кривой в точке В(0; с). Вершина

параболы С имеет координаты

Ъ _ 4ас Ьг 2а 4а

. Абсциссы xv х2

точек пересечения параболы с осью Ох определяют по формуле

-Ъ ± уіЬ2 4ас „

—. Величины хх и х2 являются корнями квадратХ1,2 3. Многочлен третьей степени y = ax3 + bx2 + cx + d (рис. 1.4). Графиком функции является кубическая парабола. Поведение функции зависит от знаков а и А = Зас-Ь2.В случае А > 0 функция возрастает при а > 0 и убывает при а < 0. Если же А < 0, то функция имеет одну точку максимума и одну точку минимума. Кубическая парабола имеет одну точку перегиба К. Ось ординат пересекается

19

ного уравнения ах2 + Ьх + с 0 в том случае, когда оно имеет решения на множестве действительных чисел.

кривой в точке В(0; d). Абсциссы точек максимума и минимума х.

и х5 определяют по формуле х = —^—^——. Абсцисса точки перегиба xfi равна

За

Касательная к графику в точке перегиба наА

клонена к оси Ох под углом а таким, что tgoc =

За

4. Степенная функция у-ах" (и > 1 — целое) (рис. 1.5). Графиком функции является парабола и-го порядка, которая проходит через точки О(0; 0) и А(1; а). При и четном график функции симметричен относительно оси Оу и в начале координат имеет минимум при а > 0 и максимум при а < 0. При п нечетном график функции симметричен относительно начала координат, которое является точкой перегиба графика.

Дробно-рациональная функция:

1. Обратно пропорциональная функция у — (рис. 1.6). Графиком

х

функции является равносторонняя гипербола, ветви которой симметричны относительно начала координат. Оси координат служат асимптотами графика. В случае а > 0 гипербола имеет вершины в

20

точках А(4а; 4а), В(-4а; -4а). В случае а < 0 вершины имеют координаты Д-^;^),.^/^; --y/jof).

Дробно-линейная функция у ах + ^ (рис. 1.7). Графиком

сх + d

функции является равносторонняя гипербола. Асимптотами слуd _ а

жат прямая х —, параллельная оси Оу, и прямая у = —, паралс с лельная оси Ох. Расположение ветвей гиперболы зависит от знака be ad

величины Д = г—.

с

Степенная функция у — (и > 1 — целое) (рис. 1.8). Графих"

ком функции является кривая гиперболического типа. Оси координат служат асимптотами графика. При п четном график симмет21

Рис. 1.8

ричен относительно оси Оу, при и нечетном — относительно нача ла координат.

У = <1х; 1

У = Некоторые иррациональные функции (рис. 1.9):

у = у[х; -3'

1

У =

у[х' <]Х

Показательные и логарифмические функции:

Показательная функция у = а* (а > 0, а Ф 1) (рис. 1.10). График функции при любом а проходит через точку (0; 1) и асимптотически приближается к оси Ох. Функция принимает только положительные значения.

Логарифмическая функция у = log^x: (а > 0, а Ф 1) (рис. 1.11). График функции при любом а проходит через точку (1; 0) и асим 

22

птотически приближается к оси Оу. Функция определена только для положительных значений аргументах.

Замечание. Важное место в исследованиях многих явлений (в частности, экономических) занимают показательная функция у = е* и логарифмическая функция у = 1пх (у = logex). Число е — иррациональное (е = 2,72).

23

3. Кривая Гаусса у е х (рис. 1.12). График функции имеет

одну точку максимума А(0; 1), две точки перегиба 2?(-^;-^) и

V2 Ve

2. Тангенс и котангенс:у = tgxnj> = ctgx (рис. 1.14). Функции tgx и ctgx периодические с периодом п.

24

-тс о

-1

у = secx

п

J

УІ

п

~2

^ У

и

= cosecx

Зя 2

і -п

і

1

тс і 2тс] w

. о

1 W

і X

Зтс 2

П

-1 п

2

п

Рис. 1.15

Обратные тригонометрические функции:

такой, что siny = х. Наприставит в соответствие угол у є

1. Арксинус и арккосинус: у arcsinx и у arccosx (рис. 1.16). Функция у arcsinx каждому действительному числу х є [-1, 1]

тс я

"2'2_

. 1 тс . тс 1

мер, arcsin= —, так как sin— = -.

2 6 6 2

Функция уarccosx каждому действительному числу х є [-1,1] ставит в соответствие угол у є [0, тс] такой, что cosy = х. Например,

1л л 1

arccos= —, так как cos— = -.

2 3 3 2

25

2. Арктангенс и арккотангенс: у = arctgx и у = arcctgx (рис. 1.17). Функция у = arctgx каждому действительному числу х є ]-<», +«>[ ставит в соответствие угол у є ]-я/2, я/2[ такой, что tgy = х. Например, arctg/3 = я/3, так как tg(7t/3) у[3.

Функция у arcctgx каждому действительному числу х є ]-°°, +°°[ ставит в соответствие угол у є ]0, я[ такой, что ctgy = x. Например, arcctg 1 = я/4, так как ctgfa/4) = 1.

26

1.20. Графики неэлементарных функций и важнейшие кривые

Неэлементарные функции:

1. у = [х] (читается: «у равно антье х») — целая часть х. Определяется как наибольшее целое число, не превосходящее х (рис. 1.18). Например, [3,24] = 3; [0,7] = 0; [-5,4] = -6.

Ук

2

у=[х]

Подпись: 1
Подпись: -1

О

з Г

Рис. 1.18

2. у = sign* (читается: (рис. 1.19):

signx

равно сигнум х») — знак числа х

-1, если х < О,

если х = О,

если х > 0.

27

3. у к — абсолютная величина (модуль) х (рис. 1.20):

х, если х > 0,

28

Важнейшие кривые:

2 2 X У

Эллипс —j + Чг = 1 (рис. 1.21).

2 2

Гипербола ?—-?= (рис. 1.22).

Парабола х2 = 2ду или у2 = 2рх (рис. 1.23).

Рис. 1.23

Справочник по математике для экономистов

Справочник по математике для экономистов

Обсуждение Справочник по математике для экономистов

Комментарии, рецензии и отзывы

1.19. графики элементарных функций: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.