1.19. графики элементарных функций
1.19. графики элементарных функций
Целая рациональная функция (многочлен):
Линейная функция у ах + Ъ (рис. 1.1). Графиком функции является прямая линия. Функция возрастает при а > 0 и убывает
( Ъ >
при а < 0. Оси координат пересекаются прямой в точках А —; 0
^ а
и 5(0; Ь). В случае Ъ = 0 получаем прямую пропорциональность: у = ах (рис. 1.2). График функции у ах проходит через начало координат.
Квадратичная функция у ах2 + Ьх + с (рис. 1.3). Графиком функции является парабола с осью симметрии, параллельной оси ординат. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, при а < 0 —
18
Рис. 1.1
Рис. 1.2
вниз. Ось ординат пересекается кривой в точке В(0; с). Вершина
параболы С имеет координаты
Ъ _ 4ас Ьг 2а 4а
. Абсциссы xv х2
точек пересечения параболы с осью Ох определяют по формуле
2а
-Ъ ± уіЬ2 4ас „
—. Величины хх и х2 являются корнями квадратХ1,2 3. Многочлен третьей степени y = ax3 + bx2 + cx + d (рис. 1.4). Графиком функции является кубическая парабола. Поведение функции зависит от знаков а и А = Зас-Ь2.В случае А > 0 функция возрастает при а > 0 и убывает при а < 0. Если же А < 0, то функция имеет одну точку максимума и одну точку минимума. Кубическая парабола имеет одну точку перегиба К. Ось ординат пересекается
19
и х5 определяют по формуле х = —^—^——. Абсцисса точки перегиба xfi равна
За
Касательная к графику в точке перегиба наА
клонена к оси Ох под углом а таким, что tgoc =
За
4. Степенная функция у-ах" (и > 1 — целое) (рис. 1.5). Графиком функции является парабола и-го порядка, которая проходит через точки О(0; 0) и А(1; а). При и четном график функции симметричен относительно оси Оу и в начале координат имеет минимум при а > 0 и максимум при а < 0. При п нечетном график функции симметричен относительно начала координат, которое является точкой перегиба графика.
Дробно-рациональная функция:
1. Обратно пропорциональная функция у — (рис. 1.6). Графиком
х
функции является равносторонняя гипербола, ветви которой симметричны относительно начала координат. Оси координат служат асимптотами графика. В случае а > 0 гипербола имеет вершины в
20
Дробно-линейная функция у ах + ^ (рис. 1.7). Графиком
сх + d
функции является равносторонняя гипербола. Асимптотами слуd _ а
жат прямая х —, параллельная оси Оу, и прямая у = —, паралс с лельная оси Ох. Расположение ветвей гиперболы зависит от знака be ad
величины Д = г—.
с
Степенная функция у — (и > 1 — целое) (рис. 1.8). Графих"
ком функции является кривая гиперболического типа. Оси координат служат асимптотами графика. При п четном график симмет21
Рис. 1.8
ричен относительно оси Оу, при и нечетном — относительно нача ла координат.
У = <1х; 1
У = Некоторые иррациональные функции (рис. 1.9):
у = у[х; -3'
1
У =
у[х' <]Х
Показательные и логарифмические функции:
Показательная функция у = а* (а > 0, а Ф 1) (рис. 1.10). График функции при любом а проходит через точку (0; 1) и асимптотически приближается к оси Ох. Функция принимает только положительные значения.
Логарифмическая функция у = log^x: (а > 0, а Ф 1) (рис. 1.11). График функции при любом а проходит через точку (1; 0) и асим
22
птотически приближается к оси Оу. Функция определена только для положительных значений аргументах.
Замечание. Важное место в исследованиях многих явлений (в частности, экономических) занимают показательная функция у = е* и логарифмическая функция у = 1пх (у = logex). Число е — иррациональное (е = 2,72).
23
3. Кривая Гаусса у е х (рис. 1.12). График функции имеет
одну точку максимума А(0; 1), две точки перегиба 2?(-^;-^) и
2. Тангенс и котангенс:у = tgxnj> = ctgx (рис. 1.14). Функции tgx и ctgx периодические с периодом п.
24
-тс о
-1
у = secx
п
J | УІ п ~2 | ^ У и | = cosecx Зя 2 |
і -п | і | 1 | тс і 2тс] w |
. о | 1 W і X | ||
Зтс 2 | П | -1 п 2 | п |
Рис. 1.15
Обратные тригонометрические функции:
такой, что siny = х. Наприставит в соответствие угол у є
1. Арксинус и арккосинус: у arcsinx и у arccosx (рис. 1.16). Функция у arcsinx каждому действительному числу х є [-1, 1]
тс я
"2'2_
. 1 тс . тс 1
мер, arcsin= —, так как sin— = -.
2 6 6 2
Функция уarccosx каждому действительному числу х є [-1,1] ставит в соответствие угол у є [0, тс] такой, что cosy = х. Например,
1л л 1
arccos= —, так как cos— = -.
2 3 3 2
25
2. Арктангенс и арккотангенс: у = arctgx и у = arcctgx (рис. 1.17). Функция у = arctgx каждому действительному числу х є ]-<», +«>[ ставит в соответствие угол у є ]-я/2, я/2[ такой, что tgy = х. Например, arctg/3 = я/3, так как tg(7t/3) у[3.
Функция у arcctgx каждому действительному числу х є ]-°°, +°°[ ставит в соответствие угол у є ]0, я[ такой, что ctgy = x. Например, arcctg 1 = я/4, так как ctgfa/4) = 1.
26
1.20. Графики неэлементарных функций и важнейшие кривые
Неэлементарные функции:
1. у = [х] (читается: «у равно антье х») — целая часть х. Определяется как наибольшее целое число, не превосходящее х (рис. 1.18). Например, [3,24] = 3; [0,7] = 0; [-5,4] = -6.
Ук
2
у=[х]
О
з Г
Рис. 1.18
2. у = sign* (читается: (рис. 1.19):
signx
равно сигнум х») — знак числа х
-1, если х < О,
если х = О,
если х > 0.
27
3. у к — абсолютная величина (модуль) х (рис. 1.20):
х, если х > 0,
28
Важнейшие кривые:
2 2 X У
Эллипс —j + Чг = 1 (рис. 1.21).
Гипербола ?—-?= (рис. 1.22).
Парабола х2 = 2ду или у2 = 2рх (рис. 1.23).
Рис. 1.23
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы