1.22. операции над множествами

1.22. операции над множествами

Объединением (суммой) множеств А и В называют множество А и В всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств АиВ:

C=AkjВ= {ххе Ашшхе В).

Пересечением множеств АиВ называют множество А п В всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству Л, и множеству В:

С-АпВ-{ххе Аихе В}.

Замечание. Понятия объединения и пересечения могут быть обобщены на случай любого числа множеств (конечного или бесконечного). Если даны множества Ау, А2,Ак, то символическая запись (J Ак означает объединение данных множеств, т.е. fc=i

определяет множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из данных множеств. Символическая запись Q Ак

означает пересечение данных множеств, т.е. определяет множество, каждый элемент которого принадлежит всем данным множествам.

Разностью множеств АиВ называют множество АВ тех элементов множества Л, которые не содержатся в множестве В:

С=АВ={хх<= Avixt В).

Если BczA,to разность АВ называют дополнением множества В до множества А и обозначают САВ.

Декартовым произведением множеств АиВ называют множество Ах В всех упорядоченных пар элементов (а, Ь) где а є A, b є В. Элементы аиЬ называют при этом компонентами (координатами) пары (а, Ь).

Декартово произведение АгхА2х ...хАп множеств А1, А2,..., Ап представляет собой множество всех упорядоченных и элементов (av а2,ап), где а1 є Av а2 є А2,ап є Ап. В частности, декартово произведение R х R х... х R, где R — множество действительных чисел, определяет л-мерное арифметическое пространство R" (см. п. 3.1).

30

О Примеры.

Если А — множество целых четных положительных чисел, а В — множество целых нечетных положительных чисел, тоАи В определяет множество натуральных чисел, т.е. множество N = {1,2, 3, ...,и,...}.

Если А — множество всех чисел, делящихся на 2, а В — множество всех чисел, делящихся на 5, то А п В определяет множество всех чисел, делящихся и на 2, и на 5, т.е. делящихся на 10.

Если А = {1, 2, 3, 4, 5}, а В = {3, 5}, то САВ = АВ = {1, 2, 4}, аВ4 = 0.

А. ЕслиЛ = {1, 2}, аЯ= {З, -1, 0}, тоЛхЯ= {(1, 3), (1, -1), (1, 0), (2, 3), (2, -1), (2, 0)}. •

Свойства операций над множествами:

Г. Аи0=А, V. Ап0 = 0. 3°. А и А = А']

(коммутативность).

(ассоциативность).

(дистрибутивность).

(идемпотентность).

АпА = А 4°. А и В = В u А

Ап В = В с А 5 Av(BvC) = (AvB)vC;

Ап(ВпС) = (АпВ)пС

6°. Av(BnQ = (AvB)n(AvC);

An(BvC) = (AnB)v(AnC) Т. Если А с Е и В с Е, то:

C£(iuB) = C£^n С£5, или

(законы двойственности).

А(Л и Д) = (£V0 п (£Я);

Q(4n5) = C^u С£Д или Е(А пВ) = (Ei) и (ЕВ)

Для краткости используются обозначения:

Vx — «для любого х»;

Зх — «существует такое х».

31