2.9. линейная зависимость векторов
2.9. линейная зависимость векторов
Система векторов Av А2, —,Ап называется линейно зависимой, если можно подобрать такие числа kv к2,кп, не все равные нулю, что
Afa+A^ +... +Апкп = 0.
Если же каждая линейная комбинация векторов Лр А2, .-.,Ап с коэффициентами kv к2,кп, которые не все равны нулю, отлична от нулевого вектора, то система векторов Av А2,Ап называется линейно независимой.
Система m-мерных векторов А1, А2,..., Ап является линейно зависимой, если система линейных уравнений
А^.х + А2х2 +... + Апхп 0 (2.10)
линейно зависимой или линейно независимой.
Преобразуем систему линейных уравнений А^ху +А2х2 +Агхг = 0 методом Гаусса:
х1 | Х2 | хг | х1 | Х2 | хг | х1 | Х2 | хг | |||
3 | -2 | а | 0 | -3 | 2 | 1 | 0 | 0 | -13 | 1 | 0 |
5 | 1 | -2 | 0 | 5 | 0 | 0 | -> 1 | -5 | 0 | 0 | |
1 | -5 | 0 | 0 | 1 | -5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
4 | -7 | -1 | 0 | 1 | -5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Общее решение исходной системы имеет вид Г -13х2 + х3 = 0, [xj 5х2 = 0.
60
Эта система имеет ненулевое решение 5, 1, 13. Следовательно, векторы Av А2, Аъ линейно зависимы.
2. Выяснить, является ли система векторов
'-20Л | '-V | ( Г | |||
А = | -15 | , А2 — | -2 | , А3 = | -1 |
-4, | "2, |
линейно зависимой или линейно независимой.
Преобразуем систему линейных уравнений Аххх +А2х2 +Аъхг = 6 методом Гаусса:
х1 | Х2 | *з | х1 | Х2 | *з | ||||
-20 | -1 | 3 | 0 | -26 | |-13| | 0 | 0 | ||
-15 | -2 | -1 | 0 | -> | -13 | 0 | 0 | 0 | -> |
-4 | -Л | І-2І | 0 | 2 | 2 | 1 | 0 | ||
х1 | Х2 | хъ | *1 | Х2 | хъ | ||||
2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | ||
-> | |-13| | 0 | 0 | 0 | -> | 1 | 0 | 0 | 0 |
-2 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Общее решение исходной системы имеет ВИД Xj = 0, х2 0, хъ 0. Эта система, а следовательно исходная система уравнений, не имеет ненулевых решений. Таким образом, векторы Av А^, А3 линейно независимы. •
Если каждый из векторов Bv В2,Вп разлагается по системе векторов Av А2, —,Ат, т < п, то система векторов Вх, В2,Вп линейно зависима.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы