2.12. однородные системы линейных уравнений

2.12. однородные системы линейных уравнений

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены системы равны нулю. Такая система в векторной форме имеет следующий вид:

AlXl+A2x2 + ...+Anxn = Q.

Каждая однородная система линейных уравнений имеет нулевое решениех1 = х2 = ... = хп = 0 и, значит, совместна.

Всякая однородная система линейных уравнений, у которой число уравнений меньше числа неизвестных, имеет ненулевое решение.

Любое решение х1 = kv х2 = к2, хп = кп системы уравнений с и неизвестными можно рассматривать как л-мерный вектор с координатами kv к2, кп, а поэтому имеют смысл такие понятия, как линейная комбинация, линейная зависимость и линейная независимость решений. Произвольная линейная комбинация решений однородной системы уравнений является решением этой системы.

Линейно независимые решения Fv F2,Fk однородной системы уравнений называются фундаментальной системой решений, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений Fv F2, ...,Fk.

63

Если ранг г системы векторов Ах, А2,Ап меньше числа неизвестных и в однородной системе уравнений

Аххх +А2х2 +... +Апхп = Є,

то эта система уравнений имеет фундаментальную систему решений и любая ее фундаментальная система решений состоит из и г решений.

Построение фундаментальной системы решений:

Находят общее решение однородной системы уравнений.

Берут систему и г линейно независимых (и г)-мерных векторов. Например, ех (1, 0, 0), е2 (0, 1, 0), еп_г=(0, 0,1).

Подставляют в общее решение вместо свободных неизвестных координаты вектора ех, а затем находят значения разрешенных неизвестных. Полученная совокупность значений неизвестных является решением Fv Аналогично с помощью векторов е2,е находят решения F2,F ґ

Полученные решения FX,F2,Fn_r составляют фундаментальную систему решений. Варьируя координаты линейно независимых векторов, получают все фундаментальные системы решений.

О Пример. Найти фундаментальную систему решений однородной системы уравнений

5xj + х2 + 4х3 2х4 + 7х5 = 0,

Xj 5х2 + х5 = 0,

4хх 7х2 + 2х3 - х4 + 5х5 = 0. Общее решение данной системы имеет вид

f

-13x2 2х3 + х4 х5 = 0,

хх 5х2 + х5 = 0.

Выбирая для свободных неизвестных х2, х3, х5 значения, равные координатам векторов ех (1, 0,0), е2 (0,1,0), е3 = (0, 0,1), найдем фундаментальную систему решений: Fl (5, 1, 0, 13, 0), F2 = (0, 0, 1,2, 0),f3 = (-l,0, 0,1, !).•

64