2.20. векторно-матричная форма записи системы линейных уравнений

2.20. векторно-матричная форма записи системы линейных уравнений: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.

2.20. векторно-матричная форма записи системы линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений

аПх1 + аУ1х2 + + а1пхп ~ К

^гЛ + а22х2 + ■•■+ ^и*» =

лт2л2

ат1х1 + а„лХ, +... + а„„х„ Ь„

и введем следующие обозначения:

а

"12

'лп

А =

^21 °22

*2п

X =

ъ =

ь2

ат1

xnJ

*т2 ••■ umnJ

Матрицу А называют матрицей системы линейных уравнений; х — вектор-столбец неизвестных, а Ъ — вектор-столбец свободных членов.

Так как столбцов у матрицы А ровно столько, сколько координат у вектор-столбцах, то определено произведение

аПх1 а2х2 •

. + а1пх„

Ах =

^21^1 ^22^2 **" ^ItP^fi

amxl + ат2х2 + ••• + атпхп J

Теперь систему линейных уравнений можно записать в виде одного векторного равенства Ах Ъ.

2.21. Обратная матрица

Квадратная матрица

(1 О О 1

О О

0> О

1

называется единичной и обозначается через Е.

73

Квадратная матрица А называется обратимой, если можно подобрать такую матрицу В, что АВ -ВА-Е. Матрица В называется обратной для матрицы А.

Матрица называется невырожденной, если ее столбцы линейно независимы.

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная.

Обратимая матрица имеет только одну обратную матрицу, которую обозначают через Л-1.

Квадратная матрица Л порядка и обратима тогда и только тогда, когда каждая из и систем линейных уравнений АХЕ1, АХЕ2, АХЕ" имеет единственное решение, где Е1, Е2,Е" — столбцы

единичной матрицы, а X =

вектор-столбец, координатами

XnJ

которого являются неизвестные хх, х2,хп.

Если матрица Л обратима, то единственное решение системы уравнений АХЕ i= 1,2,и, совпадает с і-м столбцом матрицы Л-1.

Для определения элементов матрицы А'1 необходимо решить я систем линейных уравнений с и неизвестными. Так как эти системы отличаются только набором свободных членов, то их можно решать параллельно в одной таблице.

О Пример. Найти обратную матрицу Л-1, если

' 1 О -О Л= 2 3 2 -1 1 2

единственное решение системы уравнений АХЕ2

Таким образом,

Свойства обратной матрицы:

2.22. Транспонирование матрицы

Наряду с матрицей Л часто приходится рассматривать матрицу, столбцами которой являются строки матрицы А. Эту матрицу называют транспонированной к А и обозначают через Л' или АТ.

О Пример. Транспонированной к матрице

1 О -1Л

Л =

2 3

является матрица

А1 =

О -1 2^

3

3

75

Свойства операции транспонирования (к — число):

Г. (Akf = kAT.

V. (А + ВУ=АТ + ВГ.

3°. (АВ)Т = ВТАТ.

4 (АТ)Т=А.

5°. Если А — обратимая матрица, то

(А-1)т=(Ат) 

Справочник по математике для экономистов

Справочник по математике для экономистов

Обсуждение Справочник по математике для экономистов

Комментарии, рецензии и отзывы

2.20. векторно-матричная форма записи системы линейных уравнений: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.