2.20. векторно-матричная форма записи системы линейных уравнений
2.20. векторно-матричная форма записи системы линейных уравнений
Рассмотрим систему линейных уравнений
аПх1 + аУ1х2 + + а1пхп ~ К
^гЛ + а22х2 + ■•■+ ^и*» =
лт2л2
ат1х1 + а„лХ, +... + а„„х„ Ь„
и введем следующие обозначения:
а
"12
'лп
А =
^21 °22
*2п
X =
ъ =
ь2
ат1
xnJ
*т2 ••■ umnJ
Матрицу А называют матрицей системы линейных уравнений; х — вектор-столбец неизвестных, а Ъ — вектор-столбец свободных членов.
Так как столбцов у матрицы А ровно столько, сколько координат у вектор-столбцах, то определено произведение
аПх1 а2х2 •
. + а1пх„
Ах =
^21^1 ^22^2 **" ^ItP^fi
amxl + ат2х2 + ••• + атпхп J
Теперь систему линейных уравнений можно записать в виде одного векторного равенства Ах Ъ.
2.21. Обратная матрица
Квадратная матрица
(1 О О 1
О О
0> О
1
называется единичной и обозначается через Е.
73
Квадратная матрица А называется обратимой, если можно подобрать такую матрицу В, что АВ -ВА-Е. Матрица В называется обратной для матрицы А.
Матрица называется невырожденной, если ее столбцы линейно независимы.
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная.
Обратимая матрица имеет только одну обратную матрицу, которую обозначают через Л-1.
Квадратная матрица Л порядка и обратима тогда и только тогда, когда каждая из и систем линейных уравнений АХЕ1, АХЕ2, АХЕ" имеет единственное решение, где Е1, Е2,Е" — столбцы
единичной матрицы, а X =
вектор-столбец, координатами
XnJ
которого являются неизвестные хх, х2,хп.
Если матрица Л обратима, то единственное решение системы уравнений АХЕ i= 1,2,и, совпадает с і-м столбцом матрицы Л-1.
Для определения элементов матрицы А'1 необходимо решить я систем линейных уравнений с и неизвестными. Так как эти системы отличаются только набором свободных членов, то их можно решать параллельно в одной таблице.
О Пример. Найти обратную матрицу Л-1, если
' 1 О -О Л= 2 3 2 -1 1 2
единственное решение системы уравнений АХЕ2
Таким образом,
Свойства обратной матрицы:
2.22. Транспонирование матрицы
Наряду с матрицей Л часто приходится рассматривать матрицу, столбцами которой являются строки матрицы А. Эту матрицу называют транспонированной к А и обозначают через Л' или АТ.
О Пример. Транспонированной к матрице
1 О -1Л
Л =
2 3
является матрица
А1 =
О -1 2^
3
3
75
Свойства операции транспонирования (к — число):
Г. (Akf = kAT.
V. (А + ВУ=АТ + ВГ.
3°. (АВ)Т = ВТАТ.
4 (АТ)Т=А.
5°. Если А — обратимая матрица, то
(А-1)т=(Ат)
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы