2.25. определители квадратных матриц

2.25. определители квадратных матриц

Назовем произведение и элементов квадратной матрицы порядка п правильным, если эти элементы расположены в ее различных строках и различных столбцах, т.е. по одному в каждой строке и каждом столбце.

*11

Если

'21

ап ... й1й"

«22 «2п

А =

Лп2

то произведение опа21--ат является правильным.

Каждое правильное произведение можно записать в виде

\%ia<x22 ■■■аапп> (2-16)

т.е. первый множитель содержится в первом столбце, второй — во втором столбце и т.д. Числа сс15 а2, аи — это номера строк, в которых расположены множители правильного произведения (2.16).

Назовем инверсией в последовательности ар ос2, ай такое расположение индексов, когда больший индекс стоит левее меньшего. Число всех инверсий в последовательности oCj, ос2, ап обозначим через N(ctv ос2,ап).

О Пример. В последовательности 2,4,1, 3 имеется три инверсии (2 находится левее 1,4 — левее 1, 4 — левее 3). Таким образом, N(2, 4, 1, 3) = 3. •

Перед каждым правильным произведением вида (2.16) будем писать знак, определяемый выражением (-l)^™!" "2.

Определителем матрицы А называется алгебраическая сумма всех правильных произведений этой матрицы, имеющих знак «плюс» или «минус» в соответствии с приведенным выше правилом. Определитель матрицы А обозначают detA или А.

Применим это определение к матрицам второго и третьего по-

рядка. Из элементов матрицы

*12

можно составить только

V"21 "22)

два правильных произведения: апа22 и а21ап, причем первому из них приписывается знак «плюс», а второму — знак «минус».

77

Следовательно,

4i

42

л2і u22

anfl22 ~~ «21«12-

Правильные произведения матрицы

Чі

«21

"12 "13 «22 «23

32

зз)

исчерпываются произведениями

«11«22«33'

«31«12«23'

«21«32«13'

«31«22«13'

«21«12«33'

«11«32«23'

(2.17) (2.18)

причем произведениям (2.17) приписывается знак «плюс», а произведениям (2.18) — знак «минус». Таким образом,

41

42

43

■*21 "22

*23

_ «11«22«33 + «31«12«23 + «21«32«13

«31 «32 «33

«31«22«13 ~ «21«12«33 ~ «11«32«23(2Л9)

Знаки, которые приписываются правильным произведениям в (2.19), можно запомнить следующим образом.

Соединим штриховой линией каждые три элемента матрицы, произведение которых входит в (2.19) со знаком «плюс». Тогда получим следующую легко запоминающуюся схему:

О.

"Vее/ No л:о

О'" N0 о

Аналогично для произведений, входящих со знаком «минус», имеем

„ .л

78