2.29. собственные векторы и собственные значения матрицы
2.29. собственные векторы и собственные значения матрицы
Число X называется собственным значением (или характеристическим числом) квадратной матрицы А порядка п, если можно подобрать такой и-мерный ненулевой вектор х, что Ах = Хх.
«1« «2л
«п
«21
Множество всех собственных значений матрицы А совпадает с множеством всех решений уравнения А ХЕ = О, где X — независимая переменная. Если раскрыть определитель А ХЕ, то получится многочлен и-й степени относительно X:
X
— X
А ХЕ =
«лл
"лі "л2
= апХ" + ап_хХп~х +... + ахХ + а„.
Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А. Его коэффициенты ап, ап1, ...,а0 зависят от элементов
матрицы А. Отметим, что ап = (-1)", а0 = А. Уравнение А ХЕ = О называется характеристическим уравнением матрицы А.
Ненулевой вектор х называется собственным вектором квадратной матрицы А, принадлежащим ее собственному значению X, если Ах = Хх.
Множество всех собственных векторов матрицы А, принадлежащих ее собственному значению X, совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных уравнений (А ХЕ)х = О, записанной в векторно-матричной форме.
О Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
< ( 1 А А =
1-1 4 J
= Х2-5Х + 6 = 0.
А-ХЕ =
Запишем характеристическое уравнение матрицы: 1-Х 2 -1 4-Х
Его корни Хх 2, Х2 3 являются собственными значениями матрицы А. Найдем собственные векторы, принадлежащие найденным собственным значениям. Собственный вектор, принадле83
жащий собственному значению Х1 2, является ненулевым решением системы
(А 2Е)х =
или
*2J
М 2Л(х^
-1 2
= о,
■Ху + 2х2 = 0, Ху + 2х2 = 0.
(2Л
Тогда Xj = 2, х2 = 1 — ненулевое решение и, значит, собственный вектор.
— искомый
Аналогично находим собственный вектор
матрицы А, при-
надлежащий собственному значению А,2 = 3. •
Число различных собственных значений квадратной матрицы не превышает ее порядка.
Собственные векторы квадратной матрицы, принадлежащие ее различным собственным значениям, линейно независимы.
Ортогональная матрица может не иметь действительных собственных значений, в то время как симметрическая матрица всегда имеет действительное собственное значение.
Собственные векторы симметрической матрицы, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы