3.8. предел последовательности

3.8. предел последовательности

Пределом последовательности {Мк}, Мк є R", называется «-мерная точка М0, если каждая е-окрестность точки М0 содержит все члены данной последовательности начиная с некоторого номера,

96

т.е. для любого є > 0 должен существовать номер ^(зависящий от є) такой, что Мк є S^Mq) при всех к > К.

Если М0 является пределом последовательности {Мк}, то пишут MQ = lim{Мк} или М, -> М0 при к -» оо.

В частности, число а есть предел числовой последовательности {хп}, если для любого числа є > 0 можно указать номер N (зависящий от є) такой, что для всех номеров п > ЛГвыполняется неравенство хп а < е.

О Пример. Последовательность |і| имеет предел а = 0. Действительно, для любого є > 0 всегда существует натуральное число

N =

1

целая часть числа

такое, что для всех п > iV выполня-

ется неравенство

-0

= < Є. •

п

При отыскании предела последовательности и-мерных точек (и > 2) важную роль играет предел числовой последовательности, так как имеют место следующие два утверждения:

Точка М0 является пределом последовательности {Мк}, Мк є R" тогда и только тогда, когда предел числовой последовательности {р(Мк, М0)} равен нулю (р(Мк, М0) — расстояние между точками Мк и М0).

Точка M0(x°v х2,х^) является пределом последовательности {Мк}, Мк(х^, х2, х*) тогда и только тогда, когда limxf = xf, limх = xl,limxkn = x°.

так как

к + 1 к + 1 к

k + lj 1

1+l

О Пример. Точка Af0(l; 1; ...; 1) является пределом последовак к к ^

1.*

тельности {МЛ, Мк

lim = lim

fc->°° к +1

Последовательность и-мерных точек называют сходящейся, если она имеет предел.

Свойства сходящихся последовательностей:

Г. Если последовательность сходится, то она имеет только один предел.

97

2°. Любая сходящаяся последовательность ограничена. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

3°. Если последовательность и-мерных точек сходится к точке М0, то и любая ее подпоследовательность сходится к М0.

4°. Если М0 — предельная точка некоторого множества V (Fc R"), то существует последовательность точек из множества V, сходящаяся к точке М0.

5°. Если последовательность точек замкнутого множества сходится к точке М0, тоМ0е V.