3.9. бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности

3.9. бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.

3.9. бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности

Числовая последовательность {осй} называется бесконечно малой, если lim{a„} 0, т.е. {а } — бесконечно малая последовательность,

Л-»оо

если для любого числа є > 0 можно указать номер Атакой, что при всех и > ^выполняется неравенство |aj < є.

Например, если ср(х), g(x) — многочлены и deg(p(x) < degg(x), то

последовательность 1 является бесконечно малой.

Бесконечно малые последовательности используют при вычислении пределов последовательностей, так как число а является пределом последовательности {xj тогда и только тогда, когда хп = а + ап, где {ап} — бесконечно малая последовательность.

„ 2и2+1 . 2и2 +1 . 1 Г 1

Например, lim т.— = 2, так как =— = 2 + и

2 ~, ia» ^"п- 2 2 12

и->~ П П п Уп

бесконечно малая последовательность.

Свойства бесконечно малых последовательностей:

Г. Если {an}, {Ри} — бесконечно малые последовательности, то их сумма или разность {осл ± Рл} также последовательность бесконечно малая.

2°. Если {ал} — бесконечно малая, а {xj — ограниченная последовательность, то их произведение {ocnJcn} — последовательность бесконечно малая.

3°. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

98

Числовая последовательность {хп} называется бесконечно большой, если для любого числа А > О существует натуральное число N такое, что при всех и > ^выполняется неравенство xj > А.

Например, еслиf(x), ф(х) — многочлены и degq>(x) > deg/(x), то

последовательность | і является бесконечно большой. l/(«)J

Если {хп} — бесконечно большая последовательность, то пишут lim{x„} оо.

Если же {хп} — бесконечно большая последовательность и начиная с некоторого номера все хп положительны (отрицательны), то пишут 1іт{хи} -и» (1іт{хй} -оо).

Л-»°° Л-»°°

Свойства бесконечно больших последовательностей:

Г. Бесконечно большая последовательность всегда неограни-чена. Однако не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой.

2°. Последовательность {хп}, хпФ0 является бесконечно большой тогда и только тогда, когда последовательность — бесконечно малая.

3.10. Арифметические свойства пределов числовых последовательностей

Если последовательность {хп} постоянна, т.е. хп С const при всех п, то lim хп С.

Предположим, что последовательности {хп}, {уп} сходятся. Тогда:

1) сходятся последовательности {хп+уп}, {хпуп}, причем lim(x„ + у„) = Urn хп + lim уп;

■йІіт(^іУц)= Итхл1ітз;л; 2) если lim у Ф О, сходится последовательность — , причем

Л->°о

limx„

]imXlL=n=

п^уп lim^

Л-»°°

99

Отсюда следует, что если последовательность {хп} с х о д и т с я, то:

а) Мт(Схп) С lim хп (С = const);

б) lim (хп )к (lim хп )к (к — натуральное число).

л-»°° л-»«°

Приведенные утверждения часто используют при вычислении пределов числовых последовательностей. В частности, можно показать, что если ф(х), g(x) — многочлены и deg(p(x) = degg(x), то

lim равен отношению коэффициентов при старших степенях »-»-«(л)

многочленов ф(х) и#(х).

,. Зл2-2л + 8 3

Например, lim г— = —.

и->~ 2 4пг 4

3.11. Переход к пределу в неравенствах (для числовых последовательностей)

Имеют место следующие утверждения:

Если последовательности {хп}, {уJ сходятся и при всех номерах п выполняется неравенство х <у , то lim хп < lim уп.

л->°° л^«>

Если при всех и выполняется неравенство хп < уп < zn и lim хп = lim z„ = а, то и lim уп а.

Справочник по математике для экономистов

Справочник по математике для экономистов

Обсуждение Справочник по математике для экономистов

Комментарии, рецензии и отзывы

3.9. бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.