3.12. монотонные последовательности. число е

3.12. монотонные последовательности. число е

Числовую последовательность {хп} называют возрастающей (неубывающей), если каждый ее последующий член больше (не меньше) предыдущего: хп+1 > хп (хп+1 > хп).

Числовую последовательность {хп} называют убывающей (невоз-растающей), если каждый ее последующий член меньше (не больше) предыдущего: хп+1 < хп (хп+1 < хп).

Определенные выше последовательности называют монотонными.

Например, |—| — убывающая последовательность, так как ,11 11 [и-1|

1> — >->.„> — > > а < > — возрастающая последова2 3 п п+ [и]

А 1 2 й-1 п

тельность, так как 0 < — < — <... < < < ....

2 3 и и+1

100

Основные свойства монотонных последовательностей:

Г. Если числовая последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Л"

Например, последовательность 1 +

п)

возрастающая и

1 + ограниченная.

2°. Последовательность

следовательности называют числом е:

сходится. Предел этой по-

Ґ

е = lim

1 +

(е 2,718).

3.13. Выпуклые множества в л-мерном пространстве

Если M(xv х2,хп) и N(yv у2,уп) — две и-мерные точки, то отрезком [MN] называют множество всех точек P(zv Z2, —, Zn), где

zx = axj + (1 a)^, Zj_ = ax2 + (1 a)y2,zn = axn + (1 a)yn

приО<а< 1.

Таким образом,

[MN] = {PeR"OP = OMa + ON(l a) при 0 < a < 1}.

О Пример. Даны точки M(l; -2; 3; 4) и N(3; 4; 1; -8).

Точка Р(2; 1; 2; -2) є [MN], так как 2 = a ■ 1 + (1 a) • З, l = a(-2) + (l-a)-4, 2 = a • 3 +(1-a) • 1, -2 = a-4 + (l-a)(-8) при a = 1/2.

Точка Q(4; 3; 2; -1) g [MN], так как соотношения 4 = a • 1 + + (l-a)-3, 3 = a(-2) + (l-a)-4, 2 = a • 3 + (1-a) ■ 1, -1 = = a • 4 + (1 a) (-8) одновременно не выполняются ни при каком значении а. •

Множество kb R" называется выпуклым, если вместе с любыми двумя его точками ему принадлежит и отрезок, соединяющий эти две точки, т.е. если Ms V, Ns К, то [MN] с V.

Выпуклыми, например, являются следующие множества:

всё и-мерное пространство R";

{M(x,y)sR2x2+y2<r2};

101

{М(хр х2,хп) є R" | aft + а2х2 + ... + апхп = Ь}

{M(xv х2,хп) є R" | aft + а2х2 +... + апхп < Ь);

г-окрестность любой и-мерной точки.

Свойства выпуклых множеств:

Г. Пересечение конечного числа вьшуклых множеств является выпуклым множеством.

2°. Если точки Мр М2,Мк принадлежат выпуклому множеству VylOP = Х1ОМ1 + Х2ОМ2 +... + 1кОМкпри > О, Я2 > 0, Хк > 0, A,j + Я2 + ... + к 1, то точка Р принадлежит множеству V.

Выпуклой оболочкой точек Mv М2,Мк называется множество {Р є R" | OP = llOMl + l2OM2 +... + kOMk, >0,X2> 0, hk>0, + Я2+ ... + hk= 1}.

Выпуклая оболочка всегда является выпуклым множеством.

Если выпуклое множество содержит точки Мр М2,Мк, то оно содержит и всю выпуклую оболочку этих точек.