3.18. выпуклые конусы в пространстве r"
3.18. выпуклые конусы в пространстве r"
Выпуклое множество К в пространстве R" называется выпуклым конусом, когда выполняется следующее условие:
если точка М є К и OL = к ■ ОМ, где к > 0, то L е К.
Следующие множества являются выпуклыми конусами в R":
множество всех точек пространства R" с неотрицательными координатами;
любое подпространство пространства R";
К= {M(xv х2, х3) є R31 х + х х < 0, хъ > 0} (рис. 3.5).
Пересечение выпуклых конусов всегда является выпуклым конусом.
105
Рис. 3.5
Выпуклый конус ^называется конечным (многогранным), если существуют точки Mv М2,Мк такие, что
К |м є R" | ОМ ^XjOMt, Xt > 0, / = 1,2,*j.
Например, множество решений однородной системы линейных
л
неравенств ^ayXj ^ О, / = 1,2,/и, является конечным конусом вН".
Конечный конус всегда замкнут. Пересечение двух конечных конусов является конечным конусом.
Если К — выпуклый конус в пространстве R", то множество К* {L є R" | OL ■ ОМ > 0 для всех Ms К} также является выпуклым конусом в R". Конус К* называется сопряженным (двойственным) конусу К.
В частности, если конус К задается однородной системой лил
нейных неравенств a^Xj < 0, / = 1,2,..., т, то
К* = ^Цхих2,...,хп) є R" | Xj = ffyy,; у, > oj.
Свойства сопряженных конусов:
Г. Сопряженный конус К* всегда замкнут. 2°. Конус, сопряженный конечному конусу, сам будет конечным.
3°. Если .К" — замкнутый выпуклый конус, то К** = К. 106 3.19. Суммы выпуклых множеств в пространстве R"
Пусть Ки W— множества в пространстве R". Суммой множеств V+ ^называется множество всех точек Af є R" таких, что
ОМ = OMi + ОМ 2,
гдеА^є V, М2е W.
Свойства суммы выпуклых множеств в пространстве R":
Г. Сумма выпуклых множеств всегда является выпуклым множеством.
2°. Сумма подпространств пространства R" будет подпространством этого пространства.
3°. Сумма вьшуклых конусов в R" является вьшуклым конусом, а сумма конечных конусов — конечным конусом.
Имеют место следующие два утверждения:
1. Множество всех решений системы линейных уравнений
п
Y,auxj =bi> г = 1,2,...,/я
107
(если оно не пусто), является суммой множества, состоящего из одной точки, и подпространства пространства R".
2. Множество всех решений системы линейных неравенств
и
является суммой выпуклой оболочки конечного числа точек в пространстве R" и конечного конуса.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы