4.7. выпуклые и вогнутые функции

4.7. выпуклые и вогнутые функции: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.

4.7. выпуклые и вогнутые функции

Пусть функция у = ДМ) определена на выпуклом множестве

Функция у = ДМ) называется выпуклой (вогнутой) на множестве V, если для любых двух точек Мх (Xj, х2,..., хп) и М2(ух, у2,..., уп), принадлежащих V, и для любого действительного числа 0 < а < 1 выполняется неравенство

f(N) < аДМЛ + (1 а)ДМ2) (f(N) > аДМЛ + (1 oc)/(Af2)),

где N(axx + (1 а)у{, ах2 + (1 а)у2;...; ахп + (1 сс)7й).

О Примеры.

Функция Дх) -Xі — выпуклая на R1. Действительно, для произвольных хр х2 є R1 и любого а є [0,1] получим

аДхЛ + (1 а)/(х2) -/(ocxj + (1 а)х2) =

= ах2 + (1 а)х2 [ocxj + (1 а)х2]2 =

= а(1 а)х2 2а(1 a)xtx2 + а(1 а)х2 =

= а(1-а)(х!-х2)2>0.

Линейная функция ДМ) OjXj + а2х2 + ... + апхп является одновременно и выпуклой, и вогнутой на всем пространстве R".

Квадратичная функция

ДМ) = апх{ + а22х + ... + атх2 + la^xfa + ... ... + 2а1йх1хй + ... + 2йй_1йхй_1хи

113

является выпуклой (вогнутой) на R" тогда и только тогда, когда она положительно (отрицательно) определена, т.е. принимает неотрицательные (неположительные) значения.

Например, функция f(M) = 2х2 + Их2 + 52х3 + 8xjX2 + 4ххх3 -16х2х3 является выпуклой на пространстве R3. Действительно,

f(M) = 2(х2 + 4xjX2 + 2xjX3) + 1 lx2 + 52x2 16x2x3 =

= 2(x2 + 4x,x2 + 2XjX3 + 4x2 + x2 + 4x2x3) + 3x2 + 50x2 24x2x3 =

= 2(Xj + 2x2 + x3)2 + 3(x2 8x2x3 + 16x2) + 2x3 =

= 2(Xj + 2x2 + x3)2 + 3(x2 4x3)2 + 2x3 > 0

во всех точках пространства R3, т.е. функция f{M) положительно определена. •

Свойства выпуклых функций:

Г. Функция f(M) выпукла на множестве Ктогда и только тогда, когда функция -f(M) вогнута на V.

2°. Если функции fy{M) nf2(M) выпуклы на множестве V, то функция к^(М) + k2f2(M), где kv к2 — произвольные неотрицательные числа, также является выпуклой на V.

3°. Если функция f(M) выпукла на множестве V, то множество {Me V f(M) < b), где b — любое число, само является выпуклым множеством, если только оно не пусто.

4°. Если выпуклая функция f(M) определена на открытом множестве V, то на этом множестве она непрерывна.

Свойства вогнутых функций аналогичны.

Справочник по математике для экономистов

Справочник по математике для экономистов

Обсуждение Справочник по математике для экономистов

Комментарии, рецензии и отзывы

4.7. выпуклые и вогнутые функции: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.