4.7. выпуклые и вогнутые функции
4.7. выпуклые и вогнутые функции
Пусть функция у = ДМ) определена на выпуклом множестве
Функция у = ДМ) называется выпуклой (вогнутой) на множестве V, если для любых двух точек Мх (Xj, х2,..., хп) и М2(ух, у2,..., уп), принадлежащих V, и для любого действительного числа 0 < а < 1 выполняется неравенство
f(N) < аДМЛ + (1 а)ДМ2) (f(N) > аДМЛ + (1 oc)/(Af2)),
где N(axx + (1 а)у{, ах2 + (1 а)у2;...; ахп + (1 сс)7й).
О Примеры.
Функция Дх) -Xі — выпуклая на R1. Действительно, для произвольных хр х2 є R1 и любого а є [0,1] получим
аДхЛ + (1 а)/(х2) -/(ocxj + (1 а)х2) =
= ах2 + (1 а)х2 [ocxj + (1 а)х2]2 =
= а(1 а)х2 2а(1 a)xtx2 + а(1 а)х2 =
= а(1-а)(х!-х2)2>0.
Линейная функция ДМ) OjXj + а2х2 + ... + апхп является одновременно и выпуклой, и вогнутой на всем пространстве R".
Квадратичная функция
ДМ) = апх{ + а22х + ... + атх2 + la^xfa + ... ... + 2а1йх1хй + ... + 2йй_1йхй_1хи
113
является выпуклой (вогнутой) на R" тогда и только тогда, когда она положительно (отрицательно) определена, т.е. принимает неотрицательные (неположительные) значения.
Например, функция f(M) = 2х2 + Их2 + 52х3 + 8xjX2 + 4ххх3 -16х2х3 является выпуклой на пространстве R3. Действительно,
f(M) = 2(х2 + 4xjX2 + 2xjX3) + 1 lx2 + 52x2 16x2x3 =
= 2(x2 + 4x,x2 + 2XjX3 + 4x2 + x2 + 4x2x3) + 3x2 + 50x2 24x2x3 =
= 2(Xj + 2x2 + x3)2 + 3(x2 8x2x3 + 16x2) + 2x3 =
= 2(Xj + 2x2 + x3)2 + 3(x2 4x3)2 + 2x3 > 0
во всех точках пространства R3, т.е. функция f{M) положительно определена. •
Свойства выпуклых функций:
Г. Функция f(M) выпукла на множестве Ктогда и только тогда, когда функция -f(M) вогнута на V.
2°. Если функции fy{M) nf2(M) выпуклы на множестве V, то функция к^(М) + k2f2(M), где kv к2 — произвольные неотрицательные числа, также является выпуклой на V.
3°. Если функция f(M) выпукла на множестве V, то множество {Me V f(M) < b), где b — любое число, само является выпуклым множеством, если только оно не пусто.
4°. Если выпуклая функция f(M) определена на открытом множестве V, то на этом множестве она непрерывна.
Свойства вогнутых функций аналогичны.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы