4.8. специфические свойства функций одной переменной

4.8. специфические свойства функций одной переменной

Функция у -/(х), определенная на множестве Fc R1, называется четной на этом множестве, если множество V симметрично относительно точки х = 0 и имеет место равенство /(-х) /(х) для любого X є V.

График четной функции симметричен относительно оси ординат Оу.

Функция у fix), определенная на множестве К с R1, называется нечетной на этом множестве, если множество К симметрично относительно точки х = 0 и имеет место равенство /(-х) = -f{x) для любого X є V.

114

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

О Примеры.

Функция y = cosx, для которой D(y) = ] —оо, +°°[, является четной функцией, так как cos(-x) = cosx для всех х є D(y).

Функция у = arcsinx, для которой D(y) = [-1, 1], является нечетной функцией, так как arcsin(-x) = -arcsinx для всехх є D(y). •

Функция у /(х) называется периодической, если существует такое положительное действительное число t, что для всех точек X и х + / из области определения функции имеет место равенство fix + f) = /(х). При этом число t называют периодом функции.

Практически всегда ставится вопрос о наименьшем из всех возможных периодов, т.е. о числе Т min/,-.

«

Если функция у = f(x) непрерывна, отлична от постоянной и периодическая на R1, то существует наименьший период Тэтой функции. Все остальные периоды кратны Т, т.е. /. = пТ, где п = 1, 2, 3,....

О Примеры.

у = sinx ну-cosx имеют период Т= 2л.

у = tgx иу-ctgx имеют период Т-п.

Функция Дирихле

(1, если х-рациональное,

[О, если х иррациональное,

имеет периодом любое положительное рациональное число, однако не имеет наименьшего периода. •

Функция у = /(х) называется возрастающей (убывающей) на некотором множестве Fc R1, если она определена на этом множестве и если для любых значений xv х2 є Vm условия xt < х2 следует неравенство

ЯхЛ<Ах2) (/(х1)>/(х2)).

Функция у f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на некотором множестве Fc R1, если она определена на этом множестве и если для любых значений хр х2 є ¥ш условия Xj < х2 следует неравенство

fiXl)<fix2) ІДхЛ>Ях2)).

115

Возрастающие, убывающие, неубывающие и невозрастающие функции называют монотонными. Возрастающие и убывающие функции называют строго монотонными.

О Примеры.

у = lgx — строго монотонно возрастающая функция во всей области определения (см. рис. 1.11).

flY

у = — — строго монотонно убывающая функция в области

определения (см. рис. 1.10).

у = х2 — функция, возрастающая в промежутке [0, +°°[ и убывающая в промежутке ]-оо, 0] (см. рис. 1.5).

у = [х] — целая часть числах (см. рис. 1.18) — неубывающая функция. •