4.9. обратная функция

4.9. обратная функция

Пусть функция у fix) определена в области D(y) с R1 и имеет множество значений Е(у). Если эта функция такова, что для любых xv х2 є D(y) из условия Ху Ф х2 следует условие f(Xy) Ф/(х2), то каждому у є Е(у) можно поставить в соответствие определенное х є D(y) такое, что fix) у, т.е. на множестве Е(у) можно определить функцию х=g(y), называемую обратной к заданной функции У-fix).

Областью определения обратной функции является множество значений Е(у) функции у fix). Множеством значений обратной функции является область определения D(y) функции у fix).

Например, функция у х2, заданная в промежутке [0, -н»[, имеет обратную функцию х = +*Jy, определенную на множестве Е(у) = [0, +оо[. Эта же функция, заданная в промежутке ]-<», 0], имеет обратную функцию х = --Jy, определенную на множестве Eiy) = [0, +°°[. Однако функция у = fix) = х2, заданная, например, на отрезке [-2, 2], не имеет обратной функции, так как /(-1) = =/(1) = 1 (двум различным значениям аргумента х = -1 и х = 1 соответствует одно и то же значение у).

Если функция у=fix) определена, непрерывна и строго монотонна на отрезке [а, Ь], то она имеет обратную функцию х = giy), определенную, непрерывную и строго монотонную на отрезке с концами в точках /(о) и fib).

116