4.10. понятие предела функции

4.10. понятие предела функции

Пусть функция у=f{M) f(xv х2,xj определена на множестве К с R" и М0(Хр х2, х°) — предельная точка множества V (см. п. 3.5).

Имеют место два эквивалентных между собой определения предела функции:

Число Ъ называется пределом функции f(M) при М, стремящемся к М0 (Af —»MQ), если для любой последовательности точек Mv М2, Mk,где Мк е V{k1, 2, 3, ...), Мк ф MQ, сходящейся к М0, последовательность значений функции f(M^), f(M2), f{Mk),... сходится к числу Ъ. При этом пишут

Ъ lim f(M) или Ъ lim /(хих2,...,хп).

xZx°

В частности, для функции одной переменной у = f(x) число Ъ называется пределом при х —» х0, если для любой последовательности значений аргумента xv х2, хк, где хк е V, хк ф х0 (к = 1, 2, 3, ...), сходящейся к х0, последовательность значений функции Дл^), f(x2), ...,f(xk),... сходится к числу Ъ:

b = lim/(х) или /(х) -> йприх —> х0.

X^XQ

Число Ъ называется пределом функции f(M) при М-> М0, если для любого числа є > 0 можно указать такую окрестность Sr(M0) точки М0, что для всех точек Me Sr(M0) n V, Мф М0 выполняется неравенство

f(M)-b\<e.

В частности, для функции одной переменной у = f(x) число Ъ называется пределом при х -> х0, если для любого числа є > 0 можно указать такое положительное число 6, что для всех х є V, х ф х0 и удовлетворяющих условию |х х0| < 8, выполняется неравенство

|/(x)-Z>|<E.

О Примеры.

lim cos х = 1. Действительно, возьмем произвольное є > 0. Так

х->0

как |cosx -1| = 2sin2^ < например, в промежутке |х| < л/2, то,

117

положив 8 = тіп(л/2, /2є), получим, что для всех х ф 0, удовлетворяющих условию |х| < 8, выполняется неравенство |cosx 1| < є.

lim sin — не существует. Действительно, рассмотрим две пох-»0 X

следовательности {хЛ и {х'Л, где хк = —, х'к = — , к=,2,

К к nk K/l + lnk

3, которые сходятся к нулю. Последовательность значений

функции {f(xk)} сходится к нулю, так как f(xk) = sinnk = 0 при

всех к. Последовательность же {f(x'k)} сходится к единице, так как

f(x'k) = sin (л/2 + 2\%к) = 1.

X X

lim ,1 2 не существует. Действительно, рассмотрим две

последовательности точек {Мк(1/к, 1/к)} и {М'к(2/к, У к)}, сходящиеся к точке О(0, 0). Последовательность значений функции ДМ,) =/(1,1) = 1/2, ДМ2) =/(1/2, 1/2) = 1/2,ДМк) =f(l/k, l/k) = = 1/2,... сходится к 1/2, а последовательность ДМ[) = /(2, 1) = 2/5, ДМ'2) =/(1, 1/2) = 2/5, ДМ'к)=Д2/к, l/k) = 2/5, ... сходится к 2/5. •

4.11. Некоторые замечательные пределы

, ,. sinx , „ ,. tgx

1. km = 1. 2. km— = 1.

x->0 X x-»0 X

_ ,. arcsinx 1 . r arctgx ,

3. lim = 1. 4. lim — = 1.

x->0 X x-»0 X

km(l + x)1/x =e (e = 2,718...).

x->0

km15^±^ = logfle. 7. lim^^l.

x-»0 X x->0 X

a* -1 e* -1

8. lim = In a. 9. lim = 1.

x-»0 X x-»0 X

118

4.12. Свойства функций, имеющих предел

Пусть функция у=f(M) определена на множестве V.

Г. Если функция у = f(M) имеет при М-> М0 предел, то этот предел единственный.

2°. Если функция _у=ДМ) имеет при М —» М0 конечный предел, то существует окрестность S(M0) точки М0 такая, что функция f(M) ограничена в Sr(MQ) n V.