5.3. геометрический смысл производной и дифференциала
5.3. геометрический смысл производной и дифференциала
Касательной к графику функции у fix) в точке Af(x0; /(х0)) называют предельное положение секущей MN при произвольном стремлении точки Nk точке М по графику функции (или, что то же самое, при dx —» 0) (рис. 5.1).
Значение производной f'(x0) в точке х0 определяется угловым коэффициентом касательной, проведенной к графику функции Дх) в точке Af(x0; /(х0)), т.е. f'(x0) tgcp, где ф — угол между положительным направлением оси Ох и касательной, отсчитываемый против часовой стрелки (см. рис. 5.1).
Уравнение касательной к графику функции у fix) в точке Af(x0; Дх0)) имеет вид
y-f(x0)=f'ix0)ix-x0).
Если f'ix0) оо (-оо, -|-оо), то касательная к графику непрерывной функции fix) в точке Af(xQ; /(xQ)) перпендикулярна оси Ох
135
Рис. 5.1
(вертикальная касательная). Уравнение такой касательной имеет вид х = х0.
Величина дифференциала dy в точке х0 равна приращению ординаты касательной к графику fix) в точке М(х0; f(xQ)) при переходе от точки х0 к точке (х0 + dx) (см. рис. 5.1).
О Примеры.
1. Написать уравнение касательной к графику функции
= —. Следоваfix) = у[х в точке с абсциссой xQ = 4.
« , г. 1
Имеем f(xQ) = 74 = 2, /'(*)
136
5.4. Физический смысл производной и дифференциала
В каждой точке, где функция у=f(x) имеет конечную производную fix), последняя может быть интерпретирована как мера скорости изменения у относительно х. Замена приращения функции ее дифференциалом позволяет считать процесс изменения зависимой переменной «в малом» линейным относительно изменения аргумента.
О Примеры.
Если s = s(t) — закон движения материальной точки, определяющий зависимость пути s от времени t, то производная
ds
v = — определяет мгновенную скорость материальной точки в мо-dt
мент времени t. Дифференциал ds vdt определяет путь, который прошла бы материальная точка, двигаясь равномерно с мгновенной скоростью v в момент времени /, за промежуток времени от момента /до (/ + dt).
Если q q(t) — закон, определяющий зависимость количества электричества, протекающего через поперечное сечение проr dq
водника, от времени /, то производная I — определяет силу
dt
тока в момент времени /. Дифференциал dqIdt определяет количество электричества, которое могло бы пройти через поперечное сечение проводника при постоянной силе тока / в момент времени / за промежуток времени dt. •
5.5. Приложения производной к экономике
В практике экономических исследований широкое применение получили производственные функции, используемые для установления зависимостей выпуска продукции от затрат ресурсов, при прогнозировании развития отраслей, при решении оптимизационных задач. Например, производственная функция Кобба — Дугласа связывает выпуск у с величиной производственных фондов К и затратами живого труда L:
y = qKaL1~a,
где q и а — постоянные, т.е. является функцией двух переменных КиЬ (см. п. 4.1).
137
В предположении дифференцируемости производственных функций важное значение приобретают их дифференциальные характеристики, связанные с понятием производной. Так, если производственная функция у fix) устанавливает зависимость выпуска продукции у от затрат ресурсах, то/'(х) называют предельным продуктом, если же у fix) устанавливает зависимость издержек производства у от объема продукции х, то /'(*) называют предельными издержками.
Характеристикой относительного изменения прироста функции у Лх) ПРИ малых относительных изменениях прироста аргумента х является эластичность функции. Коэффициент эластичности є определяется по формуле
є = — : —
у'
,х
или е у —
Коэффициент эластичности широко используют в исследованиях потребительского спроса на товары в зависимости от цен этих товаров или доходов потребителей. Высокий коэффициент эластичности означает слабую степень удовлетворения потребности; низкий указывает на то, что данная потребность высока.
Если производственная функция устанавливает зависимость выпуска j от л производственных факторов хр х2, хп в виде у = Лхр х2> •••> хг) (смп4-^)' т0 наиболее важными дифференциальными характеристиками такой функции являются:
ду
а) предельная эффективность фактора х.;
— предельная норма замены факторов х. и х.;
эластичность замены факторов Xj и
х,. (см.
138
Теоретический и практический интерес представляют производственные функции с постоянной (отличной от единицы) эластичностью замещения труда производственными фондами и с постоянной (переменной) отдачей на единицу масштаба производства.
Примером такого рода функций является функция CES (Constant Elasticity of Substitution)
y = C0[CL-P + (l-C)K<']-i/t},
для которой эластичность замещения равна ф 1; р, Сп и С —
1-р
постоянные.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы