5.9. логарифмическое дифференцирование

5.9. логарифмическое дифференцирование

Прием логарифмического дифференцирования используется в том случае, когда функция имеет вид, удобный для логарифмирования, и сводится к следующей схеме:

а) заменяют функцию у на функцию у\;

б) логарифмируют выражение у\;

в) находят производную от 1пу (.(Щу)'=у'/у)

г) находят у'.

141

О Примеры.

1. Для функции у (cosx)sm;lc (cosx> 0) имеем уу и, следовательно,

lny = sinxln(cosx).

Тогда — = cosxln(cosx) + srnx , откуда

, . . sin2x

cosxln(cosx)

COSX

у COSX

у' = (cosxf11*

., sin5x

2. Для функции у ? имеем

V1 sin5x

lnlyl = -ln|sin5x| -mil sin5x|.

И 5 I 5 1

_, У 1 cos5x , 1 -5cos5x ctg5x

Тогда — 5 , откуда

у 5 sin5x 5 1 sin5x l-sin5x

У

sin5x ctg5x

5.10. Производные и дифференциалы высших порядков

Если для функции у /(х) определена производная у(л_1) порядка (и 1), то производную ум порядка п (при условии ее существования) определяют как производную от производной порядка (п-1),т.е.у{п) = (у("-1)у.

В частности, у" = {у')' — производная второго порядка, у"' = (у")' — производная третьего порядка и т.д. Другие обозначеd V tv ,, .. Лгі/

ния производных высших порядков: , у , уу, fу '(х).

dx"

При вычислении производных высших порядков используют те

2

же правила, что и для вычисления}/. Например, если у = ех , то у' = е*2 • 2х,

у" = (е*2 у-2х + е*2 (2х)' = е*2 • 2х • 2х + ех2 • 2 = = 2ех2(2х2 + 1).

142

Дифференциалы высших порядков функции у = /(и) последовательно определяют таким образом:

d2y = d(dy) — дифференциал второго порядка,

d3y = d(d2y) — дифференциал третьего порядка,....

Вообще, d"y = d(d""V) — дифференциал л-го порядка.

При этом если у = /(и) и и — независимая переменная или линейная функция u = kx + b переменной х, то

d2y=y"(du)2; d3y = y"'(du)3;...; d"y=y (">(dii)".

Если же у=/(и), где и = g(x) Ф kx + Ь, то

і2У =f"iu){duf +f'(u)d2u и т.д.

(свойство инвариантности формы не выполняется).

Например, для функции у = Зи5 Ли2 + 7 ее первый дифференциал

dy = (5u4-Su)du

независимо от того, является ли и независимой переменной или функцией другой переменной. В то же время дифференциал второго порядка будет равен:

d2y = (60м3 8)(dw)2, если и — независимая переменная;

d2y (60м3 8)(dw)2 + (15м4 8u)d2u, если и — функция другой переменной.

143

5.11. Производная обратной функции

Если дифференцируемая функция у f(x) (а <х < b) имеет непрерывную обратную функцию х g(y) и у' Ф О, то существует производная обратной функции х'у и имеет место равенство

ху ухДифференцируя последнее равенство по у и предполагая существование з£, найдем

v" у"

(УХУ У (у'хУ При соответствующих предположениях аналогично можно определить производные любого порядка обратной функции.

Например, для функции у = ах (а > О, а Ф1, у > 0) обратной является функция х = logay. Ее производная

ху ковау) ^ ^ ахыа

Кроме того, так как у" = ах(]па)2, то

a* (In а)2

хлп, w (ахЫа? у2Ыа