5.12. производная параметрически заданной

5.12. производная параметрически заданной

функции

Рассмотрим функцию у f(x). Систему соотношений х ф(0, у |/(ґ), где а < t < Р, называют параметрическим представлением функции у f(x), если |/(/) = /((ф(0) ДЛЯ всех t є ]ос, Р[. Переменная t называется в этом случае параметром.

Если функции ф(?) и |/(0 — дифференцируемые и ф'(0 * 0, то существует производная У параметрически заданной функции и

. = у[ = Ш

х х' ф'(0' Если, кроме того, существуют и то

у>(x'tf

144

При соответствующих предположениях аналогично можно определить производные любого порядка параметрически заданной функции.

Например, если функция у fx) задана параметрически соотношениями х a cos3/, у 6 sin3/ (-00 < t < 00), где а и Ь — положительные постоянные, то y't 3£sin2/cos/, x't -3acos2/sin/. При t Ф nk/2 (к О, ±1, ±2, ...) производная x't Ф 0. Следовательно, при этих значениях / получаем

yi ЪЬ sin2 /cos/ b

у — — — — —tg/.

* x't За cos2 /sin/ a

5.13. Производная неявно заданной функции

Если дифференцируемая функция у = f(x) задана неявно уравнением F{x, у) = 0, то, дифференцируя тождество Fix, fix)) = 0 по х (как сложную функцию), можно определить fix). Дифференцируя выражение fix) по х, можно определить fix) и т.д.

Например, если функция у = Дх) задана неявно уравнением arctgy у + х = 0, то, дифференцируя по х тождество arctg/(x) --fix)+x = 0, найдем

^Щ-fix)+ 1 = 0, откуда y' = f(x) = + y-1. + у

Дифференцируя по х последнее равенство, получаем

у" = fix) = -2у-ъу' = -2(1+/2).

У