5.14. теоремы о среднем для дифференцируемых функций

5.14. теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Теорема Ролля. Если функция у=fx) непрерывна на отрезке [а, Ь], дифференцируема на интервале ]а, Ь[ и если fa) = f(b), то на интервале ]а, Ь[ найдется хотя бы одна точка с такая, что

f(c) = 0.

145

Геометрический смысл теоремы Ролля: на графике функции Дх) (дуга АВ на рис. 5.4) найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох (это точки MnN).

Условия теоремы существенны. Так, на рис. 5.5 функция Дх) разрывна в точке av а на рис. 5.6 функция Дх) не имеет в точке а2 производной (ни конечной, ни равной +<*>, ни равной -°°). В обоих случаях на отрезке [а, Ь] не существует ни одной точки, в которой /'(*) = 0.

Теорема Лагранжа. Если функция у Дх) непрерывна на отрезке [а, Ь] и дифференцируема на интервале ]а, Ь[, то на интервале ]а, Ь[ найдется хотя бы одна точка с такая, что

f(b)-f(a)=fc)(b-a).

Геометрический смысл теоремы Лагранжа: на графике функции Дх) (дуга АВ на рис. 5.7) найдется хотя бы одна точка, в которой касательная параллельна хорде АВ (это точки М и N).

Замечание. Полагая Ъ = а + Ах, где Ах Ф 0, можно точку с представить в виде с = а + Q(b -а) = а + 9Ах (0 < 9 < 1). Тогда формула f(b) Да) = f'(c)(b а) принимает вид

Да + Ах) -Да) = /'(а + 0Ах)Ах.

Это формула конечных приращений Лагранжа.

Если функция Дх) определена на некотором промежутке, непрерывна в каждом из концов этого промежутка (если он ему принадлежит) и имеет производную, равную нулю во всех внутренних точках промежутка, то функция Дх) постоянна в промежутке (признак постоянства функции).

146

Теорема Копта. Пусть функции |/(0 и ф(?) непрерывны на отрезке [ос, Р] и дифференцируемы на интервале ]ос, |3[. Если производная ф'(0 Ф О при всех te ]а, Р[, то на интервале ]а, Р[ найдется хотя бы одна точка £ такая, что

¥(P)-¥(oQ^¥U) ф(Р)-Ф(а) ф'©'

Геометрический смысл теоремы Коши тот же, что и у теоремы Лагранжа. Действительно, если функцию (см. рис. 5.7) задать параметрически соотношениями х ф(/), у |/(ґ) (а < t < Р) так, что координаты точки А соответствуют значению t = ос, а координаты точки В — значению t = Р, то в точках Ми іГугловой коэффициент

касательной ^ равен угловому коэффициенту tgyxop,zn>i где Ф'(£)

tgy = ¥(P)-¥(«) Ф(р) ф(сс)'