5.15. формула тейлора
5.15. формула тейлора
Если функция у=f(x) имеет производные до (и + 1)-го порядка включительно в некоторой окрестности точки х = а, то для всех x из этой окрестности справедливо равенство (формула Тейлора)
/(*) = № + а) + я)2 +... + а)" + Щх),
где Я (х) = /("+1)(д + 9(*-д))(;с _ в)»+і (0 < Є < 1) — остаточный
^ (и + 1)!
член формулы Тейлора в форме Лагранжа.
147
Замечание. Полагая х а + Ах, где Ах Ф О, формулу Тейлора можно представить в виде
f(a + Д*) До) = £ЙДХ + +
■. + ^^Г + ^<' + **УГ' <0<Є<1),
обобщающем формулу конечных приращений Лагранжа. При а = 0 формула Тейлора принимает вид
„ ч „пч /'(0) /"(0) 2 /(и)(0) „ /(й+1)(0х) й+1
f(x) = /(0) + ^-^х + J v 'х2 +... + -——х" + —-хл+1
1! 2! и! (и + 1)!
(0 < 9 < 1)
и называется формулой Маклорена.
Формулу Тейлора используют для представления функций многочленами, вычисления приближенных значений функций, при исследовании функций и вычислении пределов.
О Примеры.
х2 х3 х" е* = 1 + х + — + — + ... + — + JL(x).
2! 3! и! ^v '
Y2 4 6 2и
cosx = 1 — + — 5+... + (-1)" — + R2n+Ax).
2! 4! 6! v ' (2л)! 2n+iv '
х3 х^ х? х2и-^
sinx = х + + ... + (-1)"-1 + Rj„(x).
З! 5! 7! v ' (2я-1)! 2nV '
^ /і чт л пг{т-) 2
(1 + х) = 1 + тх + — -х +...
2!
^+m(m-l)...(m-n + l)xn+Rn(x)
{ + x)^x-i-^-^+ ... + {-Vf-^ + Rn{xy I 5 4 И
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы