5.19. наибольшее и наименьшее значения функции на множестве

5.19. наибольшее и наименьшее значения функции на множестве

Пусть функция у = fx) определена на некотором множестве FcR1HTO4Kax0e V.

Если для всех х є V выполняется неравенство fx) < fxQ), то говорят, что в точке х0 функция fx) принимает свое наибольшее значение fx0) на множестве V.

Если для всех х є ^справедливо неравенство fx) > Дх0), то в точке х0 функция fx) принимает свое наименьшее значение /(х0) на множестве V.

Если функция fx) определена и непрерывна на отрезке [а, Ь], то она достигает на этом отрезке своих наибольшего и наи152

меньшего значений. Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции необходимо:

найти все критические точки функции, принадлежащие отрезку [а, Ь];

добавить к ним концы отрезка (точки х а их Ь);

найти значения функции во всех выделенных точках;

выбрать из полученных значений самое большое и самое маленькое.

Если же функция f(x) имеет на отрезке [а, Ь] конечное число точек разрыва, то для отыскания наибольшего и наименьшего значений такой функции необходимо: добавить к указанным точкам все точки разрыва функции, принадлежащие отрезку [а, Ь], и исследовать поведение функции в окрестности каждой точки разрыва.

Наконец, если функция fix) задана на открытом промежутке (например, на интервале ]а, b[, а < Ь), то дополнительно необходимо исследовать поведение функции в односторонних окрестностях концов промежутка (при х —> а + О и при х -> Ъ 0).

О Примеры.

1. Функция fix) = xі Зх2 определена и непрерывна на отрезке [1, 3]. Ее производная fix) = Зх(х 2), так что точки х = 0, х = 2 — критические. При этом, однако, х = 0 ё [1,3]. Следовательно, необходимо рассмотреть лишь точки х = 1, х = 2, х = 3. Имеем: /(1) = -2, /(2) = -4, /(3) = 0. Таким образом, наибольшее значение, равное 0, функция принимает в точке х = 3, а наименьшее значение, равное (-4), — в точке х = 2.

х->-0

Критических точек функция fix) не имеет, так как /'(х) = 2х при -2 < х < 0 и fix) = 1 при 0 < х < 2, т.е. fix) Ф 0 на отрезке [-2, 2].

Следовательно, необходимо рассмотреть лишь точки х = -2, х = 0, х = 2. Имеем:/(-2) = 4,/(0) = -1, lim fix) = 0,/(2) = 1.

х->-0

Таким образом, наибольшее значение, равное 4, функция принимает при х = -2, а наименьшее значение, равное (-1), — прих = 0.

153

3. Функция fix) -4-х2 определена и непрерывна в полуинтервале [-2,1 [. Ее производная fix) -2х, так что точка х О — критическая точка, принадлежащая [-2, 1[. Необходимо рассмотреть точки х -2, х О, х 1. Имеем: /(-2) = 0, /(0) = 4, lim fix) =

х-»1-0

= lim (4-x2) = 3.

x-»l-0

Таким образом, наибольшее значение, равное 4, функция принимает в точке х = 0, а наименьшее значение, равное 0, — в точке х = -2. •