5.21. точки перегиба графика функции

5.21. точки перегиба графика функции

Точка (х0; f(x0)) называется точкой перегиба графика функции У = /(*) j если в этой точке существует касательная к графику и в промежутках ]х0 8, х0[ и ]xQ, х0 + 8[, где 8 — некоторое положительное число, график функции имеет разное направление выпуклости.

Так, на рис. 5.9, а точка М0 является точкой перегиба графика функции, а на рис. 5.9, б точка М, не является точкой перегиба, хотя в этой точке и происходит изменение направления выпуклости графика (в точке М. не существует касательной к графику).

Пусть точка (х0; /(jc0)) является точкой перегиба графика функции У = fix), определенной в некоторой окрестности точки х0. Тогда либо вторая производная f"(x0) не существует, либо f"(x0) = 0 (необходимый признак точки перегиба).

Пусть в точке (х0; f(x0)) существует касательная (хотя бы вертикальная) к графику функции у = f(x) и в некоторой окрестности ]х0 8, х0 + 8[ (8 > 0) существует f"(x), за исключением, быть может, точки xQ, причем f"(xQ) = 0 или f"(xQ) не существует. Если при этом в интервалах ]xQ 8, х0[ и ]xQ, xQ + 8[ производная f"(x) имеет противоположные знаки, то точка (х0; /(х0)) является точкой перегиба графика функции у = fix) (достаточные условия точки перегиба).

155

О Примеры.

1. Рассмотрим функцию fix) xі. Ее производная fix) Зх2, a fix) 6х. Тогда fix) О при х-0, причем /'(0) = 0 (в точке х 0 существует касательная к графику). Производная fix) < 0 при х < 0 и fix) > 0 при х > 0. Следовательно, точка (0, 0) является точкой перегиба графика функции у-xі.

4 х-2

2. Для функции fix) = fxix 8) имеем fix) =

4 х + 4

fix) — ,— , так что fix) = 0 при х = -4 и /"(*) не существует 9 л/х5

4

при х = 0. При этом /'(-4) = -т^,а/'(0) = -°°(вточкахх=-4их = 0

л/2

существуют касательные к графику функции, причем при х = 0 касательная вертикальна). Кроме того, fix) > 0 при х < -4, fix) < О при -4 < х < 0 и fix) > 0 при х > 0. Следовательно, точки (-4; 12^/4) и (0, 0) являются точками перегиба графика функции. •