Раздел vi дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 6.1. частные производные функций нескольких переменных

Раздел vi дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 6.1. частные производные функций нескольких переменных

Пусть функция f(M) определена в некоторой окрестности точки Af0(Xj,х„). Рассмотрим точку Mt(x,х? + Дх,.,х°). т-1 f(M,)-f(M0)

Если существует hm * —, то он называется частной

Дх,—>0 Дх,производной (обозначение: -—(М0)) функции f(M) в точке Мп, т.е.

ЭхЭх,Дх,—»о Дх,-Дх,—>0 Дх,Из определения частной производной следует, что для ее нахождения достаточно вычислить обычную производную по х,., считая Xj, X._j, х.+1,хп постоянными.

О Пример. Если f{M) =XjX2x3 -ххххг + Іх^, то

df _ / 5/ / 3 _ г 4 3

— — ) ^2^3 XjX2X3 — jXj Х^Х^ X^X^j OXj

5/ 3/ /25 2 2

~~ — Х^ х^х^ Х-^ ) ^3 ^^2^3 = ^1 ^3 3 \%2 ^^3 '

Эх2

Эх3

— х2х3 xjx2x3 ~h 2x2^x3 ) — Х-[ Х2 •^1^2 ^^2^3* ^

Для того чтобы вычислить частную производную в некоторой фиксированной точке, достаточно найти эту частную производную в любой точке и в найденное выражение подставить вместо неизвестных координаты данной точки.

158

О Пример. Найти частную производную ^-(М0), где ДМ) = = е*Ч М0(1;-1). ду

Так как ^= 2уех +у ,то ду

f(Af0) = 2(-l)el2+(-1)2=-2e2..