6.2. полное приращение функции нескольких переменных

6.2. полное приращение функции нескольких переменных

Пусть функция ДМ) определена в некоторой окрестности точки М0(хх,х(°,х®). Рассмотрим точку М&(х® + Ахх,...; х? + Ах.;

х° + Ахй). Полным приращением А/функции ДМ) в точке М0 называется число ДМД) -ДМ0), т.е.

АГ=ЛМА)-ДМ0) =

=/(xJ + Axp х° + Дх.,х° + Ахп) -Дх°, х°,х°).

О Пример. Найти полное приращение функции ДМ) = х2 + х2 вточкеМ0(1; -2).

Так как Мд(1 + Дх^ -2 + Дх2), то

Д/=ДМД)-ДМ0) =

= (1 + Дхх)2 + (-2 + Дх2)2 I2 (-2)2 = 2Axx 4Ах2 + (Дх^2 + (Ах2)2. •

Полное приращение функции нескольких переменных существует в любой точке, в окрестности которой эта функция определена.

О Пример. Найти полное приращение функции ДМ) = х3 + + XjX2 + XjX3 в произвольной точке M(xv х2, х3) є R3. Так как MA(Xj + Дхр х2 + Дх2; х3 + Ах3), то

А/=ДМД) ДМ0) = (Xj + Axj)3 + (х1 + Axj)(x2 + Ах2) +

+ (Xj + Дх1)(х3 + Ах3) х3 ХуХ2 XjX3 = (Зх2+х2 + х3)Дх1 + ххАх2 +

+ XjAx3 + ЗхДАх^2 + (AXj)3 + AXjAx2 + AxtAx3. •

159

6.3. Дифференцируемость функций нескольких переменных

Пусть функция f(M) определена в некоторой окрестности точки MQ, MQ є R". Функция f(M) называется дифференцируемой в точке MQ, если полное приращение Д/в этой точке имеет следующий вид:

Af=A,Ax, + АДх, +... +А Ах + а,Лх, + оцДх, +... + а Дх ,

где Av А2, Ап — некоторые числа, не зависящие от Ахх, Ах2, Ахп, a av ос2,ап —> 0 при Дх, —> 0, Дх2 —> 0,Дхи —> 0.

О Примеры.

Функция f(M) = х2 + х2 дифференцируема в точке MQ( 1; -2). В самом деле,

Af= 2Ах{ 4Дх2 + (Axj)2 + (Дх2)2,

т.е.

Af-^jAXj + А2Ах2 + ос, AXj + a2Ax2,

где Ax = 2,A2 = -4, otj = Axv a2 = Ax2.

Функция f(M) = x3 + XjX2 + XjX3 дифференцируема в любой точке M(xv х2, х3) є R3. Действительно,

Af-(Зх2+х2+x3)AXj + xtAx2+XjAx3 + Ах1(Ъх]Ах1 + Ax2 + Ax3 + (AXj)2), т.е.

Af A1Ax1 + A2Ax2+A3Ax3 + o^AXj,

где Al 3x2 + x2 + x3, A2 xp Аг = xv o^ = 3XjAXj + Ax2 + Ax3 + (Ax^2 и a, —> 0 при Ax, —> 0, Ax2 —> 0, Ax3 —> 0. •

Линейная функция f(M) = a1x1 + a2x2 +... + ajcn и квадратичная функция f(M) = anx + a22x^ + ... + a„„x2 + 2flj2XjX2 + 2a13XjX3 + ... ... + 2alnxlxn + 2a23x2x3 +... + 2а2йх2хй +... + 2ай_1йхй_1хй дифференцируемы в любой точке M(xv х2,хй) є R".

Свойства дифференцируемых функций:

Г. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна.

2°. Если функция f(M) дифференцируема в точке М0, то она имеет в этой точке все частные производные, причем

160

¥ = дх]ІМо)АХі + С(М°)ЛХ2 + •" + дх~Шо)АХп + + щАхх + а2Ах2 +... + oc„Ax„,

где ар а2,ап -> 0 при Дхр Дх2,Дхи -»0.

3°. Если функция f(M) имеет все частные производные в некоторой окрестности точки М0, которые непрерывны в самой точке М0, то функция f(M) дифференцируема в этой точке.

6.4. Дифференциал функции нескольких переменных

Если функция f{M) дифференцируема в точке М0, то линейная часть приращения функции ДМ) в точке М0 называется ее дифференциалом df(MQ) в точке М0, т.е.

d/W0) = |^(Л/0)Ах1 + ^-(М0)Ах2 +... +1^ (М0)Дх„.

dXj 0X2 dxn

Можно считать, что (Ц = Axv dx2 = Ах2, ...,dxn = Ахп. Тогда

&f(M0) = |^(M0)dx1 + |^(M0)dx2 +... + |^(М0)охй.

dXj dx2 dx„

О Пример. Найти дифференциал функции ДМ) = хх2 + х?х3 + + х3вточкеЛГ0(2; 1;-3).

0J 2 of 4 OJ 2

Так как = 3xfx2, zf— = х[ + 2х2х3, zr— = х2 +1, то

dXj Эх2 ох3

^(М0) = 12, |^(М0) = 2, ^-(М0) 2 и d/(Af0) = 12<Ц +

dXj dx2 dx3

+ 2dx2 + 2dx3. •

Основное свойство дифференциала. Если функция ДМ) дифференцируема в точке М0, то при малых Axv Ах2,Ахп

A/(M0)-d/(M0),

т.е.

А/ТО « £Vo)A*i + |^о)А*2 + + ¥-(М0)Ахя.

161