6.5. градиент функции нескольких переменных

6.5. градиент функции нескольких переменных

Градиентом функции /(Af) в точке М0, Af0 є R", называется вектор, координаты которого соответственно равны значениям частных производных функции /(Af) в точке AfQ:

£<".)}.

Так, если /(Af) = X3 + ххх2 + х^, то grad/= {Зх2 + х2; 2ххх2 Зх2} (grad/ — градиент функции /(Af) в произвольной точке Af(Xj, х2, х3) є R3). Если же /(А/) = ххх2 х2, Af0(l; -1), то grad/|Mo=(-5;7).

Основное свойство градиента. Пусть функция /(Af) дифференцируема в точке Af0(jCj, х2,х°), а а = (ах, а2,ал) — некоторый и-мерный вектор. Рассмотрим точку Mt(x[° + axt; х2 + a2t;...; х^ + a J). Тогда:

если скалярное произведение grad/| • а < 0, то существует

число Ту > 0 такое, что /(AQ < /(Af0) для всех t,0<t<Tx;

если скалярное произведение grad/| • а > 0, то существует число Т2>0 такое, что /(AQ > /(AfQ) при всех t,0<t<T2.

Чтобы найти точку, в которой данная функция принимает значение, большее, чем в точке Af0(Xp х2, х®), можно поступить следующим образом:

выбрать направление перемещения, т.е. найти вектор а = (av а2,ап) такой, что grad/| • ос > О (если нет дополнительных ограничений, можно положить а = grad fM^l

рассмотреть точку М((хх + axt; х2 + a2tх® + aj) и подобрать параметр t> 0 так, чтобы f(M() > /(AfQ).

О Примеры.

1. Найти точку, в которой значение функции /(Af) = -Зх2 -Зх2 + 2ххх2 + 10хх6х2 + 2 больше ее значения в точке Af0(-1; 1). Так как grad/ = {-6хх + 2х2+ 10; -6х2 + 2хх 6}, то grad fM =

= (18; -14). Если а = (1; -1), то grad/"| • а = 18 + 14 = 32 > 0. 162

Рассмотрим точку М(-1 +1; 1 і). Тогда ДМ) = -8Г + 32/ 22 и df(Mt)

при t-2 имеем — = 0. Значит, при t-2 функция ДМ) имеет

dt

наибольшее значение. Если / = 2, то Mt(l; -1) и ДМ) = 10, в то время как ДМ0) -22.

2. Найти точку на плоскости х, + Зх2+х3 = 15, в которой значение функции ДМ) = -х 2х2 Xі больше ее значения в точке М0(1; 2; 8).

Рассмотрим точку Mt(l + a,t; 2 + a2t; 8 + a3t). Эта точка должна принадлежать данной плоскости, т.е. 1 + a,t + 3 (2 + a2t) + 8 + a3t = 15, или flj + Ъа2 + а3 = 0. Кроме того, вектор а = (av а2, а3) должен удовлетворять условию grad fM^ ■ а > 0. Так как grad fM = (-2; -8; -16), то имеем систему

Ц + ЗС2 + flj = 0, ^

[-2а, 8о2 16а3 > 0.

Вектор а = (-2; 1; -1) является решением системы (*). Таким образом, Mt(l 2t; 2 + t; 8 /), а ДМ) = -It2 + 2t 73. Функция ДМ) имеет наибольшее значение при / = 6/7. Если / = 6/7, то

М((-5/7; 20/7; 50/7), а ДМ) = -67*, в то время как ДМ0) = -73. •

Основное свойство градиента используют для отыскания экстремумов функций нескольких переменных (см. пл. 9.23; 9.24).