5.18. экстремум функции

5.18. экстремум функции: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2007 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Предназначен для студентов экономических вузов. Может быть использован аспирантами и преподавателями вузов и колледжей, а также экономистами различных специальностей в практической работе.

5.18. экстремум функции

Если существует такая <5-окрестность точки х0, что для всех точек хФх0 и принадлежащих этой окрестности выполняется неравенство f(x)^f (лг0) ((/(х)(x0))t то точка х0 называется точкой нестрогого минимума (нестрогого максимума) функции / (jc), а число f(x0) — минимумом (максимумом) этой функции.

Если в указанной <5-окрестности выполняется строгое неравенство f(x)>f (jc0) (f(x)<f (jc0)), то точку ;со называют точкой строгого минимума (строгого максимума).

Точки строгого и нестрогого максимума и минимума функции называют ее точками экстремума.

Если х0 — точка минимума функции f(x), то в указанной <5-окрестности точки х0 приращение функции Af(x0)=f(x) — ~/(хо)2>® (4/Ч*о)>0); если же х0 — точка максимума функции f(x), то Д/(хо)^0 (А/(х0)<0) во всех точках 5-окрестности точки х0.

Пусть точка х0 является точкой экстремума функции f(x), определенной в некоторой окрестности точки х0. Тогда либо производная /' (х0) не существует, либо /' (х0)=0 (необходимый признак экстремума).

Точки, в которых производная функции f(x) не существует или обращается в нуль, называют критическими.

Например, для функции f(x) = 3y/x-(х—8) ее производная 4 х—2

f (х)=-'—=. Следовательно,/' (х) = 0 при х=2;/' (х) не суще-з у*1

ствует при х — 0 (f' (0)= — оо). Таким образом, точки экстремума функции / (х), если таковые вообще имеются, находятся только среди критических точек 1 = 0 и х — 2.

Достаточные условия строгого экстремума непрерывной функции

Пусть функция / (х) дифференцируема в некоторой окрестности ]х0 — о,х0 + <5[ критической точки Хо, за исключением, быть может, самой точки х0, в которой тем не менее функция f(x) непрерывна. Если при этом в интервалах ]х0 — <5, Хо[ и ]х0, х0 + <5[ производная /' (х) имеет противоположные знаки, то х0 — точка экстремума, причем:

а) если/' (х)>0 при xe]xQ-S, х£ и/' (х)<0 при хє]хй, *ь + <5[>

то х0 — точка строгого максимума функции;

б) если /' (х)<0 при хе]х0—5, Хо[ и /' (х)>0 при хє]х0, х0+<5[,

то х0 — точка строгого минимума функции.

Если же/' (х) сохраняет знак при всех х^х0, хе]х0-$, х0+<5[, то точка х0 не является точкой экстремума функции / (х).

Пусть /' (х0) = 0, функция /(х) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки х0 и /" (х) непрерывна в этой окрестности. Тогда:

а) если /" (х0) < 0, то х0 — точка строгого максимума функции

f(x);

б) если /" (х0)>0, то х0 — точка строгого минимума функции

/(*);

в) если /" (х0)=0, то вопрос о наличии экстремума отстается

открытым.

3. Пусть/' (х0)=/л (х0)=...=/""" (х0)=0, а/"' <хь)*0. Тогда:

а) если л — четное, то при/"' (х0)<0 точка Хо является точкой

(х0)>0 — точкой строгого министрогого максимума, а при У*' мума;

б) если п — нечетное, то х0 не является точкой экстремума. О Примеры.

fix).

льно, согласно условию 1, точка х=0 не является точкой экстремума функции f(x). С другой стороны,/' (х)<0 при 0<х<2 и/' (х)>0 при х>2; следовательно, х = 2 является точкой строгого минимума, а число /(2)— —6 Ъу/2— минимумом функции

2. Рассмотрим функцию /(х) — хъ — Зле1. Ее производная

/' (х) = 3хг — 6х = 3х (х — 2), так что f (х)=0 при х = 0 и х=2.

Вторая производная /" (х) = 6хи6 и, следовательно,

/" (0)= -6<0, а/" (2) = 12-6 = 6>0. Тогда, согласно условию 2,

точка jc=0 является точкой строгого максимума функции

и /(0) = 0, а точка х = 2 — точкой строгого минимума

и/(2)=-4.

3, Пусть дана функция f(x) = x . Для этой функции

f(x)=4x /" (х)=12х2, Г" (х) = 24х, f (*) = 24, так что

/' (0)=/" (0)=/"' (0)=0, a f (0) = 24>0. Тогда, согласно условию 3, точка х=0 является точкой строгого минимума и/(0)=Ю. •

Справочник по математике для экономистов

Справочник по математике для экономистов

Обсуждение Справочник по математике для экономистов

Комментарии, рецензии и отзывы

5.18. экстремум функции: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2007 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Предназначен для студентов экономических вузов. Может быть использован аспирантами и преподавателями вузов и колледжей, а также экономистами различных специальностей в практической работе.