6.5. градиент функции нескольких переменных

6.5. градиент функции нескольких переменных

Градиентом функции f (Af) в точке Af0, M0eR"t называется вектор, координаты которого соответственно равны значениям частных производных функции / (АГ) в точке Af0, т. е.

Основное свойство градиента.

Пусть функцияf(Af) дифференцируема в точке М0 (х°; х2; ... xJJ), a a=(oi, аъ а„) — некоторый «-мерный вектор. Рассмотрим точку М, (xj + o,/, x + a2t, x° + a„t). Тогда:

если скалярное произведение grad f м а <0, то существует

число Ті > О такое, что/ (Aii) <f (А/о) для всех t, 0 < г< ТЛ;

если скалярное произведение grad/l^ ое>0, то существует

число Т2 > О такое, что / (Mt)>f (Ма) при всех t, О < t< Т2.

Чтобы найти точку, в которой данная функция принимает значение,большее, чем в точке А10(х\; ...; х°), можно поступить следующим образом:

выбрать направление перемещения, т. е. найти вектор а=(аи а2, а„) такой, что grad/|M а>0 (если нет дополнительных ограничений, можно положить a=grad/|M(t);

рассмотреть точку AI, (xl+ait; x--a2t; x*4-a„f) и подобрать параметр t > 0 так, чтобы f (М,) >f (М0).

О Найдем точку, в которой значение функции f(Af)= = — Зх[ — Зх|+2х,х2+ ІОхі — 6х2 + 2 больше ее значения в точке Л/„(-1; 1).

Так как grad/={ — 6х! + 2х2+10, — 6х2+2х, — 6}, то grad/U„=(18, -14). Если а=(1, -1), то grad/U ■ «=18 + 14 = =32>0° 0

Рассмотрим точку М, (— 1 + 1-і). Тогда /(Л/,) =*-8/2 +

+ 32/—22 и при t=2 У^ = 0. Значит, при t=2 функция f(M,)

di

имеет наибольшее значение. Если / = 2, то М, (1, — 1) и/(А/,)= 10, в то время как / (А/0) = —22.

Рассмотрим более сложный пример: найти точку на плоскости

Xi + 3jc2+хъ = 15, в которой значение функции / (Л/) = — х, — —2х—х больше ее значения в точке М0 (1; 2; 8).

Рассмотрим точку М, (1 + а,/; 2 + a2t; 8 + а3/). Эта точка должна принадлежать данной плоскости, т.е. I +а^+Ъ (2 + а2/)+8 + + аэ/=15 или д] + За2 + аэ = 0. Кроме того, вектор а = (аи аг, а3) должен удовлетворять условию grad/|M а>0. Так как grad/ |mq = (— 2; — 8; — 16), то имеем систему

г й1 + Ъа2 + а^ = 07

[-2а1-8а2-16а3>0. <*>

Вектор ос=( —2, 1, —1) является решением системы (*). Таким образом, М, (1-2/; 2 + /; 8-/), а/(Л/,) =-7/2 +12/-73. Функция f{M,) имеет наибольшее значение при /=6/7. Если / = 6/7, то

М, (-5/7; 20/7; 50/7), а /(Л/,) =-67*, в то время как

/(Мй)=-73. •

Основное свойство градиента используют для отыскания экстремумов функций нескольких переменных (п. 9.23; 9.24).