6.7. экстремумы функций нескольких переменных

6.7. экстремумы функций нескольких переменных

Точка М0е\" называется точкой локального минимума (максимума) функции / (М), если существует окрестность Sr (Мй) точки М0 такая, что при всех MeS, (М0) выполняется неравенство f(M0)^(M)(f(M0)>f(M)).

Точки локального минимума и локального максимума функции f(M) называются точками экстремума этой функции.

По определению, точки экстремума функции всегда являются внутренними точками области определения этой функции.

Точка A/oeR" называется стационарной точкой функции f (М), если в этой точке градиент функции / (М) является нулевым вектором, т. е.

grad/l^O.

О Найдем, например, стационарные точки функции / (М)=х2—ху+у2+9х—6у+20.

Так как gradf={lx—y+9, — х + 2у—6}, то для отыскания стационарных точек имеем систему уравнений

f 2ху + 9 = 0, -х+2у-6=0,

откуда получим единственную стационарную точку А/ (—4; 1). •

Необходимое условие экстремума

Если в точке экстремума функции / (М) существуют все частные производные этой функции, то эта точка экстремума является стационарной точкой функции/(Л/), т. е. —^^ = 0, i=, п.

Заметим, что стационарная точка функции /(А/) может не быть точкой экстремума этой функции. Однако все точки экстремума функции находятся среди стационарных точек этой функции или точек, где не существуют ее частные производные.