6.8. наименьшее и наибольшее значения функции нескольких переменных

6.8. наименьшее и наибольшее значения функции нескольких переменных: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2007 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Предназначен для студентов экономических вузов. Может быть использован аспирантами и преподавателями вузов и колледжей, а также экономистами различных специальностей в практической работе.

6.8. наименьшее и наибольшее значения функции нескольких переменных

Пусть функция / (А/) определена и непрерывна на некотором ограниченном замкнутом множестве V и, за исключением, быть может, отдельных точек, имеет на этом множестве частные производные. В этом случае найдется точка А/0є V, в которой функция имеет наименьшее (наибольшее) значение на множестве V. Если точка А/0 лежит внутри множества V, то она является точкой экстремума функции и ее следует искать среди стационарных точек или точек, где не существует частных производных. Однако своего наименьшего (наибольшего) значения функция / (А/) может достигать и на границе множества V.

Таким образом, для отыскания наименьшего (наибольшего) значения функции / (А/) на множестве V необходимо:

определить все точки множества V, где не существует частных производных функции /(А/);

найти все стационарные точки функции / (А/), принадлежащие множеству V;

во всех найденных точках вычислить значения функции / (AQ и сравнить их со значениями функции на границе множества V.

Наименьшее (наибольшее) из этих значений и будет наименьшим (наибольшим) значением f (М) на всем множестве V.

О Найдем, например, наименьшее и наибольшее значения функции f (М) = &хг+у2-(х2+уг)2 внутри круга х2+у2^3.

Функция J (Af) имеет частные производные во всех точках. Так как grad/= (6х—4х (х2+у2), 2у—4у (х2 + у2)}, то для отыскания стационарных точек имеем систему уравнений

(16х~4х (х2+у2) = 0,

{ 2у-4у(х2+у2) = 0.

Из этой системы уравнений найдем следующие стационарные точки: А/, (0, 0), М2 (0; 1/уД), Мг (0; -1/0), М4 (2; 0), М5 (-2; 0). Тогда/(A/^0,/(M2)=/(M3) = 1/4, М4, M,i V.

Выясним, какие значения принимает функция / (М) в точках окружности х2+у2 = 3. Так как уг-Ъ-хг, — у/З^х^у/з, то на окружности f=Sx2 + 3 —х2 — 9 — 1х2—6, — у/з^х^у/з. Отсюда следует, что на окружности наименьшее значение равно

— 6 и достигается в точках М6 (0; у/Ъ) М1 (0; — у/з), а наибольшее значение равно 15 и достигается в точках А/8 (у/3;

о), л/, (-Уз, о).

Искомые наименьшее и наибольшее значения равны 6 и 15 и достигаются соответственно в точках

М< (уД; 0), М$ (-УЗ; 0) и М6 (0; у/з), А/7 (0; -у/з~). •

Справочник по математике для экономистов

Справочник по математике для экономистов

Обсуждение Справочник по математике для экономистов

Комментарии, рецензии и отзывы

6.8. наименьшее и наибольшее значения функции нескольких переменных: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2007 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Предназначен для студентов экономических вузов. Может быть использован аспирантами и преподавателями вузов и колледжей, а также экономистами различных специальностей в практической работе.