6.11. условные экстремумы функций нескольких переменных
6.11. условные экстремумы функций нескольких переменных
Пусть функция / (М) определена на множестве V £ R". Точка МцЄ V называется точкой условного локального минимума (мак-симума) функции / (М) на множестве V, если существует окреста ость Sr (M)) точки М0 такая, что для всех точек MeSr (М0) f]
f] V выполняется неравенство / (А/0)</ (М) (f (М0) >f (М)).
Точки условного локального минимума и условного локального максимума функции / (М) на множестве V называются точками условного экстремума функции f(M) на множестве V.
Точка экстремума функции всегда является точкой условного экстремума. Если же точка условного экстремума функции f (М) на множестве V является внутренней точкой этогб множества, то она — точка экстремума функции f(M).
Рассмотрим множество
К={А/єК"|Ф, (М) = 0, і=1, 2, к; Ф((АО<0, і = А+1, ...,/}.
Точка М0 є V называется условно стационарной точкой функции / (М) на множестве V, если в ней градиент / (М) разлагается по градиентам тех функций Ф( (М), которые в точке М0 обращаются в 0.
О Например, точка М0 (4; 6) является условно стационарной
точкой функции / (М)~(х — 2)2 + {у-У)2 на множестве Q = {M (х, у)еК2Ф (М) = х2+у2-52^0}. Действительно, Ф(А/о) = 0,
grad/| „о = (4, 6), grad Ф | ^=(8, 12), т. е. grad/| grad Ф | Uq. •
Предположим, что функция f (М) определена на множестве Р={М хг, jc„) | Ф, (xi, х2} хп) = 0, i = l, к). -В этом случае функция
L (*,, xlt хп, Уі, у2, -., Ук) =
к
=/(хи Х2, Х„)~ £ У,Фі {хъ Х2, Хя) ( = 1
называется функцией Лагранжа. Точка M0eR" является условно стационарной точкой функции /(М) на множестве Р тогда и только тогда, когда
' dL
■=0,у=1, 2,
OXj
8L
■ = 0, i=l, 2,
Например, найдем условностационарные точки функции f(*i, х2) = Ъх + 2х — Зх, + 1 на множестве Р={М (хи х^)Ф {М) = =jcf+jc I—4=0}. Функция Лагранжа в этом случае имеет вид
L(xu хъу)=Ъх+2х~Ъхх + -у (х+х-4):
Тогда
dL 3L
—=6jc1-3-2>-;c, = 0; —=4x2-2j>x;2=0;
Ьх дхг
^=_(хї+*ї-4)=0,
откуда найдем следующие четыре условно стационарные точки: А/, (3/2; у/7/2), М2 (3/2; -у/~7/2), А/, (2; 0); А/4 (-2; 0). •
Необходимое условие условного экстремума функции на множестве
V=*{MeK"\<bi (А/)=0, i=l, -., *; Ф,(А/К0, ;=*-Н, ...,/}.
Предположим, что А/0 — неособая точка условного экстремума функции/(Af) на множестве F. Если функции f (Af) и Ф, (A/), i= 1, 2, Л, к+1, /, дифференцируемы в точке А/0, то эта точка является условно стационарной точкой функции / (А/) на множестве V.
Условно стационарная точка функции f (Af) на множестве V может не быть точкой условного экстремума. Однако все неособые точки условного экстремума находятся среди условно стационарных точек (при условии дифференцируемости функций /(А/) и Ф( (А/), 1 = 1, 2, к. к +1, /)
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы