Раздел vii интегральное исчисление и дифференциальные уравнения 7.1. неопределенный интеграл

Раздел vii интегральное исчисление и дифференциальные уравнения 7.1. неопределенный интеграл

Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции y=f{x) на отрезке [д, Ь], если в каждой точке этого отрезка ее производная равна f(x):

F'{x)=f(x).

О Пример. Производная от функции лсэ/3 равна х2. Поэтому, по определению, функция хъ ft является первообразной для функции X . Ф

Теорема о существовании первообразной. Каждая непрерывная функция имеет бесконечное множество первообразных функций, отличающихся друг от друга на постоянную величину.

Общее выражение F(x) + C для всех первообразных функций от данной функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается

7.2. Таблица основных интегралов

1) х'йх=

а+1

+ С(а/-1);

2)

Сйх

X

= 1п|х| + С,

х+а

=1пх+а + С;

J simc<b:= — cosjc + C;

J cosxdx=sinx-t-C;

it

7) I—r=tgx+C;

COS X

ax

= -ct$x + C;

9) J tgjcd;c= —ln|cosx| + C;

П) 12) 13) 14)

10) J ctgxdx=ln|sin;t| + C;

dx

= arcsin+ C;

dx l x „

-—-=-arctg+ C;

а2 +Х2 a a

x+a

x—a

+ C;

J х*-<? 2a

dx

= ln|x+V^2 + a2| + C.