7.12. дифференциальные уравнения первого порядка

7.12. дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем виде записывается следующим образом:

F(x, у,у') = 0.

Разрешенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

У'= fix. У).

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную;

у = с). Дифференциальные уравнения вида

\%=y'=fix)g'<y) (7.7а)

ах

ИЛИ

Л (*)*! ІУ) dx+f2 (x)g2 (у) dy=0 (7.76)

называются дифференциальными уравнениями первогЬ порядка с разделяющимися переменными.

Если функции #х (y),f2 (х) в уравнении (7.76) или функция g(y) в уравнении (7.7а) не равны нулю на рассматриваемом интервале, то данные уравнения приводятся к виду

— fix) dx, dxH dy = 0,

g(y) ЛМ *iO0

которые называются дифференциальными уравнениями первого порядка с разделенными переменными. О Пример. Решить уравнение

у'=-Ух

Это уравнение приводится к виду

dy dx у X

с

у=-.

X

Интегрируя его левую и правую части, получаем In |>» |= -ln|je|+lnC=ln

Дифференциальное уравнение вида

y' + P(x)y = Q(x), (7.8)

где Р(х), Q(x) — заданные непрерывные функции от х или постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Решение этого уравнения ищется в виде

y(x)=u(x)v(x), (7.91

где и(х) и v(x) — непрерывные функции от X.

После дифференцирования выражения (7.9) и подстановки:] в (7.8) получают выражение |

^+P(x)v(x) ах

+v(x)d^~Q(x). (7.Щ

Функция v (х) выбирается из условия

~ + P(x)v(x) = 0, ах

которое является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. После определения v(x) и подстановки его в уравнение (7.10) вновь получают уравнение с разделяющимися переменными для определения функции и(х).

Окончательно формула для определения у(х) имеет вид

y(x) = e^[)Q(x)c^+C]. (7.11)

О Пример. Решить уравнение

х+1

Используя формулу (7.11), получаем

йх Лх

у(х)=е x+l[j(x+i)3e I+l+q= =elB(JI+i)1[f(x+i)JelD('+irVq=

=(x+)2ti(x+i)dx+q=(x+i)2(^+x+cj.m

7.13. Линейные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением «-го порядка называется уравнение вида

у** + а1{х)уі-1) + ... + ая(х)у=Ь(х), (7.12)

где at (л), а„(х), Ь(х) — известные функции от х, у — искомая функция.

Функции aL(x), а„(х) называются коэффициентами дифференциального уравнения (7.12).

Уравнение (7.12), в котором Ь(х)ФО, называется неоднородным.

Наряду с каждым неоднородным уравнением (7.12) можно рассмотреть соответствующее ему однородное уравнение

у(я) + а1(х)уіп-1)+... + ап(х)у=0. (7.13)

Если уі. = <р1(х), у2 = (р2(х), yk = q>k(x) — решения однородного уравнения (7.13), то любая их линейная комбинация

C1yi + C2y2 + ... + Ckyk,

где Сх, С2, .... Ск — постоянные, также решение этого однородного уравнения.

Система функций называется линейно независимой на интервале ]а, Ь[, если ни одна из этих функций не может быть выражена в виде линейной комбинации остальных функций.

Фундаментальный набор решений — это набор линейно независимых решений уравнения (7.13), содержащий столько функций, каков порядок дифференциального уравнения.

Теорема. Для того чтобы решения Уі = <Рі(х), У2 = (р2(х), уя = (р„(х) линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными на отрезке [а, Ь] коэффициентами были линейно независимыми на интервале (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского

<Pl(x) (Р2(х) ...<Рп(х)

лхг! ч Я>(х) <р'2(х) -<Рп(х)

(рГЧх) р?-'>(*) -<РҐ1Чх)

был отличен от нуля при любом х из [а, Ь].

Любое решение однородного уравнения можно представить в виде линейной комбинации фундаментального набора решений

У=ї,С,у„ (7.14) і-і

где Сі (і= 1, 2, л) — произвольные постоянные.

Выражение (7.14) называется общим решением однородного дифференциального уравнения (7.13).

О Пример. Уравнение у"+у=0 имеет решения

7=sinx, _y=2sin;e, >>=cosjc.

Легко убедиться, что первое и второе решения не образуют фундаментальную систему, а первое и третье — образуют. Следовательно, общее решение данного уравнения можно представить в виде

у = С t sin х+ С г COS X,

где Су, С/— произвольные постоянные, ф

Пусть у — некоторое решение неоднородного уравнения (7.12), а у — общее решение однородного уравнения (7.13).

Тогда у—у + у — общее решение неоднородного уравнения (7.12).

Зная общее решение неоднородного уравнения (7.12), легко найти любое его частное решение.

7.14. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение л-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

/) + fl1/"l)+...4fl4y = ft(x), (7.15)

где ait а2, .... ап — постоянные.

Уравнению (7.15) соответствует однородное уравнение

У")4-а1У'"1)4...4ая}'=0. (7.16)

Уравнению (7.16) можно сопоставить многочлен относительно переменной X

М(Х)^Ґ+а1Ґ-і + ... + ап, (7.17)

называемый характеристическим многочленом уравнения (7.16), и соответствующее характеристическое уравнение

Х" + а1Х'"1 + ... + ая = 0. (7.18)

О Пример. Уравнению

/+2/-5у = 0

соответствует характеристическое уравнение А2 + 2А —5 = 0. # Если А0— корень характеристического уравнения (7Л8), то

у=е***— решение однородного дифференциального уравнения (7.16),

Характеристический многочлен (7,17) можно представить (см. (7.2)) в виде

M(X) = (X-Xl)"l(X-X2f' ,..{Х-Хк) х

x^+^A + fi) ...(А2+р/А + ?,) , где Х^ФХ2Ф...фХк— различные действительные числа; X2+PjX + \%— квадратные трехчлены, не имеющие действительных корней. В этом случае фундаментальный набор решений уравнения (7.16) можно достроить следующим образом.

Каждому действительному корню А, кратности т, (j^k) сопоставляют набор линейно независимых решений е*'*, хех'х, ...

хт' leXj*. Для каждой пары комплексно-сопряженных корней Xj=<Xj±if}j (j>k) кратности ntj составляют набор решений:

eijxcosfijX, xeljxcosf3jX, x"J ^eij"cosf}jX,

Sin Д X, X Ъ** Sin f}j X, ..., XmJ ' eXjZ Si uf}jX.

О Пример. Уравнению

yw-2y0)+2y"-2y' + =0 (7.19) соответствует характеристическое уравнение

Xа 2А3 + 2Аг 2А +1 = 0 или (А -1 )2 (А2 +1) = О, которое имеет корни Ai2=l, АЭ|4=+1. Корню ).= 1 кратности

2 соответствуют решения ух = ъ , у2 = хе". Корням А3і4= +і соответствуют решения у$ = cos х, Уь = sin X.

Общее решение дифференциального уравнения (7.19) можно записать в виде

y = C1z + С2х t + С3 cos х+ С4 sin х,

где Сх, Сг, Сэ, С4 — произвольные постоянные, ф

Для определения общего решения неоднородного уравнения кроме фундаментального набора решений соответствующего однородного уравнения необходимо найти некоторое (частное) решение неоднородного уравнения. Обычно вид этого частного решения определяется формой правой части неоднородного уравнения.

О Пример. Решить краевую задачу для дифференциального уравнения

у'^5у'+6у=ех, у(0)=1-, у(1) = 0.

Однородному уравнению у" — 5у' + 6у = 0 соответствует характеристическое уравнение X2 — 5Х+6-0, корнями которого являются числа Aj = 3, Х2=2. Им соответствуют решения у1 = сх,

Общее решение однородного уравнения можно представить

в виде у= С,с +С2е .

Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме

у=Ае ,

где А — постоянное число. Дифференцируя последнее выражение, находим

у'=Ае, у' = Ае.

Подставляя у, у', у" в исходное уравнение:As—5At+bAe=e, находим А = 1/2.

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения имеет вид

— л „ Эх ^ їх 1 х

y=y+y — C1s +С2е +-е .

Подставим в общее решение граничное условие у(0)= 1/2. Получим С1 — — С2. Подставляя в решение второе граничное условие

и учитывая, что С, = — С,, имеем С, = — С, = . Искомое

12 12. 2е(1-е)

решение принимает вид

1 Зх 1 2* 1 х Л

у= е е +-е . •

2е(1-е) 2е(1-е) 2

7.15. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Система п уравнений первого порядка с л неизвестными функциями, резрешенная относительно производных, имеет вид

(7.20)

—"=/.(*. у1.у2 Уп),

^ ах

где х — независимая переменная; ylt уг, .... y„ — неизвестные функции.

Решением системы (7.20) называется всякая система функций

у1 = (р1(х), У2 = <Р2(х), —г Ун — Фпіх), Определенных НЭ КОНЄЧНОМ

или бесконечном интервале изменения аргумента х, имеющих производные первого порядка и обращающих уравнения системы (7.20) в тождества по х.

Задача Конш для системы (7.20) заключается в определении ее решения Уі — (Рі(х), у2~<Р2(х), ■■■> Уп~фп(х), удовлетворяющего

начальным условиям ух (х0)=у °, у2 (х0)=у , у„(х0)=у°, где у?,

Уъ ■■■> Уп — заданные числа. Если правые части системы (7.20) являются линейными функциями относительно ylt у2, .... у„, то система дифференциальных уравнений называется линейной.

Для решения систем дифференциальных уравнений в некоторых случаях удобнее переходить от данной системы к одному уравнению л-го порядка.

О Пример. Решить систему дифференциальных уравнений

dx3

=4у1 + 2у2 + 5у1-2у2 = 9у

т. е.

Характеристическое уравнение Xі — 9=0 имеет корни X,i2~ ±3. Общее решение уравнения запишется следующим образом:

j^Qe +С2е . /Для у2 из первого уравнения системы находим

у2=—-2Уі = ЗСіЄ3хЗС2е~3х2СіЄ3* -2С2е~3* СіЄ3* 5 С2е-3'. dx

Используя начальные условия, найдем Сх и С2. Имеем 2=^ + 0,, 0=^-5^, откуда ^ = 5/3, С2=1/3. Решение системы имеет вид

5 Зі , 1 -Ъх 5 з* _зУі=-е +-е , J2 = 3(e -е ). •

Систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно записать в матричной форме:

dx

(7.21)

(6у1

-dx dx

Решение ищется в виде

їх

Хх

>Ч=/Ле >Уг=Р2е ,...,уя=р„е

ІХ

В результате дифференцирования и подстановки в уравнение (7.21) получаем (А — ХЕ)р=в, где

О

0

Для того чтобы система имела ненулевое решение, необходимо, чтобы определитель матрицы А — ХЕ был равен нулю, т. е.

=0.

(7.22)

Уравнение (7.22) является характеристическим уравнением матрицы и системы дифференциальных уравнений, которое имеет л корней. В случае действительных и разных корней каждому корню Я, соответствует собственный векторРї=(рі,рц,--.Рт)Соответствующие решения будут иметь вид

Лі х Хіх

Уи=РіЄ .Уи=РьЄ ,

: Упі=Рп£

Для п корней имеем л аналогичных решений. В результате получается фундаментальная система решений. Общее решение системы дифференциальных уравнений запишется в виде

J,i = C1J'n + C1j'12-r... + C4y,ll.

У 2 = С іУ 2І + С гУ 22++ СпУ In,

у„ = С1ул1 + Сгуя2 + ...+ СпУ„.

О Пример. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

— = 4у1+6у1, dx

dx

= 0.

Запишем характеристическое уравнение 4-Я 6

7-Я

Корни этого уравнения Л1 = 1, Я2 = 10. При Я=1 получаем одно уравнение для определения собственного вектора рц + 2р21 = 0, откуда рі = {2; -1).

При Я=10 получаем />12-/>22=0, т. е. p2 = (l, 1). Фундаментальная система решений такова:

yli = 2e\%y2l = -e,

10дг