7.16. разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
7.16. разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Разностные методы решения дифференциальных уравнений — это способы вычисления значений искомого решения у(х) на некоторой сетке значений аргумента.
Разностные методы позволяют находить только конкретное (частное) решение, например решение задачи Коши. Но эти методы в настоящее время являются основными при решении дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ.
Одним из простейших разностных методов является метод ломаных, или метод Эйлера.
Пусть требуется решить задачу Коши для уравнения первого порядка
У'=ДхгуХу(х0)=у0
на отрезке [х0, хя].
На данном отрезке выбирают некоторую сетку значений аргумента х0, х1г .... xN, для которых вычисляют значения функций у по схеме
Уп+і=У,+№(хп, уЛ), h„ = x„+i-x„,
где n=0, 1 JV-1.
Этот метод дает хорошее приближение к решению только для достаточно малых А„.
Модификации этрго метода определяются следующими формулами:
t
K f(Xn. Уп) Хп + -,Уп + К ,
hn
Л+і^У.+т {/(*.. У.)+/[х.-н, У*+А*п, yJtQ}.
о
Более высокую точность обеспечивает метод Рунге — Кут-та. Наиболее употребительной является следующая схема указанного метода:
К
Л+1=Л+-г(*1 + 2*2+2*э+*Д (7.23)
6
где
ki=f(x„, y„), k2=flx„+-, у,+-кЛ
При решении конкретных задач используют также и другие разностные методы решения дифференциальных уравнений.
О Пример. Решить задачу Коши методом Рунге — Кутта для дифференциального уравнения у' =хг+уг, у(0) = 1 на отрезке [О, 0,7].
Выберем шаг А = 0,1. Используя формулы (7.23), получаем следущие значения функции у на сетке значений х:
X | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 |
У | 1 | 1,11 | 1,25 | 1,44 | 1,7 | 2,07 | 2,64 | 3,65 |
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы