Раздел viii ряды 8.1. сумма числового ряда
Раздел viii ряды 8.1. сумма числового ряда
Выражение
ai + az + ... + a„ + ...= £ ап,
где а1, аг, .... а„, ...—некоторые числа, называют числовым рядом. Числа я1Р аг, .... а„, ... — члены ряда.
оо
Для каждого числового ряда £ ая можно построить последо-вательность его частичных сумм S„:
S„ = ai + a2 + ...+аЙ, п=, 2, .... О Пример. Для ряда
її 1 £ 1
1 2 2 3 л(и+1) и_|Л(л + 1)
1 . 1 „ 1 1 , 1 1 1
1 1 2 2 1-2 2-3 2 2 3
1 „ 1 1 1
= 1--;8, = ^-+ -— + ...+3 1 2 2 3 я(л+1)
,111 11,1
= 1—+— + ...+ =1 ; .... •
2 2 3 л л+1 л+1
Конечный предел 5 последовательности частичных сумм ряда £ а„ называют суммой этого ряда.
О Пример. — Н—+... Н ^— 4-... = 1, так как
"1-2 2.3 я(л-И)
lim S„=Hm (1 — ) = 1Если S — сумма ряда £ а„, то число rn—S—S„ называют остатком ряда. Так как lim г„=0, то при достаточно большом «
и-* со
SxS„ (S„ — частичная сумма ряда).
Числовой ряд называют сходящимся, если он имеет сумму, и расходящимся в противном Случае. О Примеры.
1. Гармонический ряд 1++ + ...Н—к., расходится.
2 3 л
2. Геометрическая прогрессия a+aq+aq2 +... + адл_1 + ...
(я#0) сходится при |?|<1 и расходится при Если |(7І<1,
^ я-і <*
то a+aq + aq + ... + aq +...= .
3. Обобщенно гармонический ряд — Н I-...H Ь~. сходится
1* 2* и*
при а > 1 и расходится при а ^ 1.
4. + + ... + (-1) + ... = 1п2.
3 4 п
5.i-i+-1-I+...+ C-ir-L+„.=5 7 2л-1 4
-,11 1 я1
6.1+^ + ...++ ...= -.
7.i-i+V^-+(-ir4+---2* З1 А1 п3 12
8. + + ...+ + ... = е-1.
1! 2! п!
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы