8.5. сходимость функциональных рядов
8.5. сходимость функциональных рядов
Выражение вида
л w +л (*)+..+/„ (*)+...= Ел (*), .(8.з)
гдеfx(x),f2(x), ...,f„(x), ... — некоторые функции, определенные
на одном и том же множестве М, называется функциональным рядом.
Множество Q(Q£Af) всех значений х, при которых функциональный ряд (8.3) сходится (как числовой ряд), назьіваеі ;я областью сходимости этого ряда.
Функция S(x)t xeil является суммой ряда (8.3), если 5(х) = 1іт5,,(х),
гТ-ЮО
где 5Я(х) =Л (х) +Л (х) +... +/, (х).
Если функция іУ(х), xeL(Lc£l) является суммой ряда (8.3), то говорят, что функциональный ряд (8.3) сходится на множестве L к функции S (х).
Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве L к функции 5(х), если для любого числа £>0 существует номер N такой, что при n~Z N сразу для всех х є L выполняется неравенство
|5(х)-5л(х)|<£.
Если функциональный ряд сходится на множестве L, то на этом множестве сходимость не обязана быть равномерной, однако на некотором подмножестве множества L сходимость может оказаться уже равномерной.
Признак равномерной сходимости Вейерштрасса. Если члены функционального ряда fx (х) +f2 (х) + ...+/, (х) +... удовлетворяют на множестве L неравенствам
|/,(*)1^Дл = 1,2, ...),
где сп — члены сходящегося числового ряда Cj + с2 +.. + с„ +то
функциональный ряд сходится на множестве L равномерно.
„ _ sin* sin2x sin их
О Пример. Ряд 1 Г--К..Н + сходится на L=J — со;
I3 2 п
+ со[ равномерно, так как всегда дится. Ф
ЯП пх
1 00 1
и ряд схо-
8.6. Функциональные свойства суммы ряда
Если функции /в(х) непрерывны на [а, о], а составленный из
них ряд /1(х)+/2(х) + ...+/,(х) + ... сходится равномерно на этом
отрезке к функции /(х), то:
1°. Функция f{x) на отрезке [а, Ь] непрерывна.
2°. j/(x)dx = J/i (х)dx+f2(х) dx+... + f„(x)dx+....
в a a a
О Пример. Ряд l+x+xz + ...+x"~ +... на отрезке [0, 1/2] сходится равномерно к функции —. Тогда
1—*
1П 1/2 1/2 1/2 .
/ 1 dx+ j xdx+...+ J x dx + ...= I
оо о о 1— •*
ИЛИ
+ — +— + ...+ + ... = ln2. •
2 21 2 21 3 -« Z л
Если функции /,(х) имеют непрерывные производные на отрезке [а, Ь] и на этом отрезке:
а) ряд/і (x)+f2(x) + ...+/„(x) + ... сходится к функцииДх);
б) ряд (х) +/ 3 (х) +...+/" я (х) + ... сходится равномерно, ,
то f(x) имеет на [а, Ь] непрерывную производную и
г (х) =л (х) +л (х)+...+/: (х)+....
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы