8.5. сходимость функциональных рядов

8.5. сходимость функциональных рядов

Выражение вида

л w +л (*)+..+/„ (*)+...= Ел (*), .(8.з)

гдеfx(x),f2(x), ...,f„(x), ... — некоторые функции, определенные

на одном и том же множестве М, называется функциональным рядом.

Множество Q(Q£Af) всех значений х, при которых функциональный ряд (8.3) сходится (как числовой ряд), назьіваеі ;я областью сходимости этого ряда.

Функция S(x)t xeil является суммой ряда (8.3), если 5(х) = 1іт5,,(х),

гТ-ЮО

где 5Я(х) =Л (х) +Л (х) +... +/, (х).

Если функция іУ(х), xeL(Lc£l) является суммой ряда (8.3), то говорят, что функциональный ряд (8.3) сходится на множестве L к функции S (х).

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве L к функции 5(х), если для любого числа £>0 существует номер N такой, что при n~Z N сразу для всех х є L выполняется неравенство

|5(х)-5л(х)|<£.

Если функциональный ряд сходится на множестве L, то на этом множестве сходимость не обязана быть равномерной, однако на некотором подмножестве множества L сходимость может оказаться уже равномерной.

Признак равномерной сходимости Вейерштрасса. Если члены функционального ряда fx (х) +f2 (х) + ...+/, (х) +... удовлетворяют на множестве L неравенствам

|/,(*)1^Дл = 1,2, ...),

где сп — члены сходящегося числового ряда Cj + с2 +.. + с„ +то

функциональный ряд сходится на множестве L равномерно.

„ _ sin* sin2x sin их

О Пример. Ряд 1 Г--К..Н + сходится на L=J — со;

I3 2 п

+ со[ равномерно, так как всегда дится. Ф

ЯП пх

1 00 1

и ряд схо-

8.6. Функциональные свойства суммы ряда

Если функции /в(х) непрерывны на [а, о], а составленный из

них ряд /1(х)+/2(х) + ...+/,(х) + ... сходится равномерно на этом

отрезке к функции /(х), то:

1°. Функция f{x) на отрезке [а, Ь] непрерывна.

2°. j/(x)dx = J/i (х)dx+f2(х) dx+... + f„(x)dx+....

в a a a

О Пример. Ряд l+x+xz + ...+x"~ +... на отрезке [0, 1/2] сходится равномерно к функции —. Тогда

1—*

1П 1/2 1/2 1/2 .

/ 1 dx+ j xdx+...+ J x dx + ...= I

оо о о 1— •*

ИЛИ

+ — +— + ...+ + ... = ln2. •

2 21 2 21 3 -« Z л

Если функции /,(х) имеют непрерывные производные на отрезке [а, Ь] и на этом отрезке:

а) ряд/і (x)+f2(x) + ...+/„(x) + ... сходится к функцииДх);

б) ряд (х) +/ 3 (х) +...+/" я (х) + ... сходится равномерно, ,

то f(x) имеет на [а, Ь] непрерывную производную и

г (х) =л (х) +л (х)+...+/: (х)+....