8.7. степенные ряды

8.7. степенные ряды

Функциональный ряд

□о

а0 + а1(х-с) + а2(х-с)2 + ... + ая(х-с)и+ £ а*(х~СУ> (8-4)

где о, (п = 1, 2, ...) и е — некоторые числа, называют степенным

рядом с центром в точке с.

Возможны лишь следущие три случая:

степенной ряд (8,4) сходится только при х = с (всюду расходящийся ряд);

степенной ряд (8.4) сходится (притом абсолютно) при любом значении х (всюду сходящийся ряд);

существует число R>0 такое, что ряд (8.4) сходится абсолютно при | х — с | < Л и расходится при | х—с | > R (R — радиус сходимости ряда).

Кроме того, считают: R=0 для всюду расходящегося ряда и Л = +оо для всюду сходящегося ряда.

Интервал ]с — R, c+R[, R>0, называют интервалом сходимости степенного ряда (8.4). При этом на концах интервала сходимости степенной ряд может как сходиться, так и расходиться.

О Пример.. Найдем область сходимости степенного ряда

X Xі х*

— + : + ...+ + ....

1-2 2 22

Я • 4.

Положим ип=^—, w„+i=— . Тогда

иГ'.Д-2" |х| „ х

lim = lim —— bm =—.

л-» ц, я_,00(п-(-І)2',+ 1 х \" ^ «-"0ІІ+1 2

По признаку Даламбера степенной ряд сходится абсолютно при | х | < 2, а при [ х | > 2 абсолютной сходимости у него нет. Следовательно, радиус сходимости ряда R = 2. Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости: при х = 2 ряд 11-11

2 + 2 + 3 + ■■ + + •■• расходится, а при х=—2 ряд

— -+— + ... + (— 1)"+ ... сходится. Таким образом, область 12 3л

сходимости степенного ряда D = [ —2, 2[. #

Основные свойства степенных рядов

Г. Если степенной ряд не является всюду расходящимся, то его сумма непрерывна в каждой точке области сходимости.

2°. Степенной ряд внутри его области сходимости можно интегрировать почленно, так что если

а0 + а1(х-с) + а2(х-с)2 + ... + ая(х-с)'' + ...=/(х), xeCl,

то

і ^ (*-с) л- <*-с>"+ г ft ^A

а0(х-с) + а1 + ... + а„ + ... = Дх)йх.

2 л+1 с

3°. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать почленно, так что если

а0 + Оі (х-с) + аг (х-с)2 +... + а„ (х-с)"+... =f(x),

xe]c-R, c + R[, R>0,

то

al+2a2{x-c) + ... + nan (х-c)"~1 +... =/' (x), xe]c-R, c+R[.

Это утверждение сохраняет силу и для конца интервала сходимости, если только последний ряд на этом конце сходится. 4°. Если степенной ряд

а0 + й! (х-с)+а2(х—с)г + ... + а„(х—с)"+...

не является всюду расходящимся, то его сумма f(x) имеет внутри интервала сходимости производные всех порядков. При этом

г/ч гч f'{c) ^(с) a0=f(c), ai=f (с), а2=—-,ай = -~-, ....

2! . л!

8.8. Разложение функций в степенные ряды

Если функция f(x) имеет производные всех порядков при Х~С, то степенной ряд

f(c)+^(x-c) + ...+f^(x-c)" + ... (8.5)

1! л!

называют рядом Тейлора для функции f(x). При с = 0 ряд (8.5) называется рядом Маклорена.

Для того чтобы ряд (8.5) сходился к функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы

lim Д,(л;) = 0,

где

Д,(х)=^—/я+1)[с + б.(х-с)], О<0<1. (л+1)!

Таблица разложений в степенной ряд некоторых функций

+ ... + + ... = е, -со<х<+оо; 1! 2! л!

X X , j .я X

h—... + (-1) + ...=smx,

1! З! 5! (2л + 1)!

~ао<х< + со;

1 + ... + (-1) — + ..=cosx,

2! 4! (2яУ.

— со<х< 4-оо;

х X п X

х 1 ... + (-1) K.. = arctgx, |х|ї$1;

3 5 2л+1

л_^+---+...+(-1)"-1-4-...=1П(]4-х), 2 3 4 л

m(m-l) 2 /я(лі-1)...(т-«4-1) „

1+nwH jt + ..H x +...=

2! л!

= (1+*)".|*|<1.