8.9. тригонометрические ряды

8.9. тригонометрические ряды

Функциональный ряд

-°+У (flr.coswx+6„sinj:), (8.6)

где а0оп, b„, (n= I, 2, ...) — некоторые числа, называется тригонометрическим рядом.

Свойства тригонометрических рядов

Г. Сумма тригонометрического ряда (8.6) является функцией периодической, ее период Т= 2гс.

со

2°. Если числовой ряд £ с„ сходится абсолютно, то ТРИТОНОВІi

а № *>

метрические ряды — + X Сл cos nx а Т. с«sm сходься равномерно на всей числовой оси.

3°. Если тригонометрический ряд (8.6) сходится равномерно на отрезке [—jt, к] к функции f(x), то

1 " Iя а0 = f/OOdx, а„ = f/"(x) cos плох,

Я -ж Я -к

1 *

А„=J/(jc)sinnxdx (n=l, 2, 3, ...).

" -я

8.10. Ряды Фурье

Пусть f(x) — некоторая периодическая функция периода Т=2п. Тригонометрический ряд

— + (°i cos пх+Ья sin nx)

2 л-1

называется рядом Фурье для функции fix), если

fl0=f f(x)dx, а„=і f(x)cosnxdx, l *

= J /(д)8шлдс(Ь: (л = 1, 2, 3, ...)я -я

Свойства рядов Фурье

1°. Если функция f(x) — четная, то

2 "

6„=0(л = 1, 2, 3, ...), а„--=f(x)cosnx&x

л о

(и = 0, 1,2, ...). 2°. Если функция f(x) — нечетная, то

2 *

ап=0 (л = 0, 1, 2, 3, ...), Ь„=f{x)wa.nxdx (11=1,2, ...)-.

3°. В точке л:0, где функция f(x) дифференцируема или по крайней мере имеет конечные односторонние пределы

Jim и hm ,

ряд Фурье для функции f(x) сходится, причем его сумма равна f(x0). В противном случае сумма этого ряда Фурье может быть отличной от f(x0).

4°. Если функция f(x) периодическая периода Т=21, то ее рад Фурье имеет вид

--+ L e.cos—+ *„sm--d* J,

2 ..і V ' /

где e0.= J f(x)dx, an=J/(x)cos—-doc,

1 ' nwt 6„= J/"(jc)sin — dx(n= 1, 2, 3, .,.). ' -/ 1

5°. Если функция /(x) задана на конечном интервале ] — /, /[, то для того чтобы ее разложить в ряд Фурье, необходимо предварительно построить функцию <р (х) периода Т=2/ такую, что

ф(х)=/(х) при —1<х<1.

Если функцию <р(х) можно разложить в ряд Фурье, то на интервале ] —/, /[ этот ряд будет рядом Фурье для функции f{x). О Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f{x) периода Т=21, если

0.

Так как функция f(x) является четной, то 6.=0(и = 1,2, 3, ...),

Oq=f/О) dx= [xdx=

2 л3 / 2

2 / nnx

— cos —

ПЯ nn I

Отсюда Таким образом,

Го,

если л — четное;

4//(пя)2, если л — нечетное.

її і 1

юс Зях 5ях

cos— cos— cos-l

■+—r-+-