8.9. тригонометрические ряды
8.9. тригонометрические ряды
Функциональный ряд
-°+У (flr.coswx+6„sinj:), (8.6)
где а0оп, b„, (n= I, 2, ...) — некоторые числа, называется тригонометрическим рядом.
Свойства тригонометрических рядов
Г. Сумма тригонометрического ряда (8.6) является функцией периодической, ее период Т= 2гс.
со
2°. Если числовой ряд £ с„ сходится абсолютно, то ТРИТОНОВІi
а № *>
метрические ряды — + X Сл cos nx а Т. с«sm сходься равномерно на всей числовой оси.
3°. Если тригонометрический ряд (8.6) сходится равномерно на отрезке [—jt, к] к функции f(x), то
1 " Iя а0 = f/OOdx, а„ = f/"(x) cos плох,
Я -ж Я -к
1 *
А„=J/(jc)sinnxdx (n=l, 2, 3, ...).
" -я
8.10. Ряды Фурье
Пусть f(x) — некоторая периодическая функция периода Т=2п. Тригонометрический ряд
— + (°i cos пх+Ья sin nx)
2 л-1
называется рядом Фурье для функции fix), если
fl0=f f(x)dx, а„=і f(x)cosnxdx, l *
= J /(д)8шлдс(Ь: (л = 1, 2, 3, ...)я -я
Свойства рядов Фурье
1°. Если функция f(x) — четная, то
2 "
6„=0(л = 1, 2, 3, ...), а„--=f(x)cosnx&x
л о
(и = 0, 1,2, ...). 2°. Если функция f(x) — нечетная, то
2 *
ап=0 (л = 0, 1, 2, 3, ...), Ь„=f{x)wa.nxdx (11=1,2, ...)-.
3°. В точке л:0, где функция f(x) дифференцируема или по крайней мере имеет конечные односторонние пределы
Jim и hm ,
ряд Фурье для функции f(x) сходится, причем его сумма равна f(x0). В противном случае сумма этого ряда Фурье может быть отличной от f(x0).
4°. Если функция f(x) периодическая периода Т=21, то ее рад Фурье имеет вид
--+ L e.cos—+ *„sm--d* J,
2 ..і V ' /
где e0.= J f(x)dx, an=J/(x)cos—-doc,
1 ' nwt 6„= J/"(jc)sin — dx(n= 1, 2, 3, .,.). ' -/ 1
5°. Если функция /(x) задана на конечном интервале ] — /, /[, то для того чтобы ее разложить в ряд Фурье, необходимо предварительно построить функцию <р (х) периода Т=2/ такую, что
ф(х)=/(х) при —1<х<1.
Если функцию <р(х) можно разложить в ряд Фурье, то на интервале ] —/, /[ этот ряд будет рядом Фурье для функции f{x). О Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f{x) периода Т=21, если
0.
Так как функция f(x) является четной, то 6.=0(и = 1,2, 3, ...),
Oq=f/О) dx= [xdx=
2 л3 / 2
2 / nnx
— cos —
ПЯ nn I
Отсюда Таким образом,
Го,
если л — четное;
4//(пя)2, если л — нечетное.
її і 1
юс Зях 5ях
cos— cos— cos-l
■+—r-+-
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы