1.12. факториал
1.12. факториал
Факториалом целого положительного числа п называют произведение 1' 2• 3 ... (я — 1) п.
Факториал числа п обозначают символом и! По определению, 0! = 1.
Например, 2! = 12=2; 3! = 1-23 = 6; 4!=1-2-3-4=24. * Свойства факториала
Iй -и = (2л-1)2л;— =2п (2и +1).
(л-1)! (2л-2)! (2л-1)!
2°. При возрастании п факториал и! растет очень быстро:
к л
lim —=0 (к — любое натуральное число); lim = 0 (а — любое
п-»оо л! я->оо л!
положительное число). 12
3°. Факториалы больших чисел можно приближенно оценить по формуле Стирлинга:
е
п! taФ^п ^ J ■ е12", где 0 < в < 1.
1.13. Размещения, перестановки, сочетания
Всевозможные группировки из данных п элементов по иг в каждой, отличающиеся друг от друга либо самими элементами, либо порядком расположения элементов, называют размещениями из л элементов по т.
Например, размещения из трех элементов а, Ь, с по 2: ab, ас, be, Ьа, са, cb.
Число всех размещений из и различных элементов по т обозначают А™ и вычисляют по формуле
А:=п(п-у(п-2)...(п-т+1) = --—
' _ 1^ / (л-/и)!
т множителей
Например, A j=5 4 3 = 60.
Перестановками из п элементов называют их группировки, отличающиеся друг от друга только порядком входящих в них элементов.
Например, перестановки из трех элементов а, Ь, с: аЪс, acb, cab, cba, bca, bac.
Число всех различных перестановок из п различных элементов обозначают Р„ и вычисляют по формуле
Р„=1 2-3...(и-1)-и = и!
Например, Ps = 1 ■ 2 3 ■ 4 5 = 120.
Всевозможные группировки из данных « элементов по т в каждой, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом, называют сочетаниями из п элементов по т.
Например, сочетания из четырех элементов а, Ь, с, d по 2: ab, ас, ad, be, bd, cd.
Число всех сочетаний из п различных элементов по т обозначают С™ или и вычисляют по формуле
я-(«-1)-(я-2)-(«-и + 1) «!
^ и '
Г23.../и mV{n~m)
5'4'3
Например, С'=—= 10.
Свойства сочетаний
1°. Сі=л; c» = c: = i.
2°. СГ^С;-" (т=0, 1,2, .... л).
з°. сї+сі+с2+... + с;=2л. 4°. соп-сі+с2я-...+(-і?с:=о.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы