8.11. приложения рядов

8.11. приложения рядов

1. С помощью рядов можно приближенно вычислять различные постоянные величины.

Для того чтобы вычислить некоторую постоянную S, необходимо ее представить в виде суммы числового ряда S=al + a2 + ...+а„ + „. и положить

S„ = ад + а2 +... + а„.

При достаточно большом л остаток rH = S—SK станет сколь угодно малым, так что Sn воспроизведет S с любой наперед заданной точностью.

О Пример. Вычислить с точностью 0,005. Так как

Xі Xі

e*=l+x-i 1 К.., — со<х<+оэ,

2! 3!

то

і

і "і , І і 1 1

: = е -1 —+- — + уе 2 22-2! 2Э-3! 2*-4!

Полученный числовой ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Поэтому для остатка справедлива оценка |гя|<ал+|,

Значит, |r3|<^j<0,003. Поэтому с нужной точностью имеем

= 1 L = 0,604. •

уе 2 22-2! 23 3!

2. Ряды применяют для приближенных вычислений определенных интегралов. Для вычисления _[/(\%) dx необходимо подын0

тегральную функцию f(x) разложить в степенной ряд. Если f(x) = aQ + aix+a2x2 + ...+a№x" + ..., -R<x<R,

то при — R<t<R степенной ряд можно интегрировать почленно. Получим

, , л+1

tit

f(x)dx=a0t + al~ + a2+ ... + a„ — + ...,

g 2 3 П+1

(

откуда jf(x)dx можно вычислить с любой наперед заданной о

точностью.

О Пример. Рассмотрим интеграл вероятностей 0>(0=-L }е 2dx=-L }е 2 djc.

-Jill -t sjlrt о

Так как

ех=1+лМ 1 К.., —аэ<л< + оо,

2! 3!

2 Г г3 _ '7

v/^L 32 5-2V2! 7.2s.З!

+ .

С помощью рядов можно интегрировать некоторые дифференциальные уравнения. Если, например, необходимо найти решение дифференциального уравнения y'=f(x, у) такое, что у(х0)=у0, то это решение можно искать в виде ряда Тейлора

у (х)=у (х0)+у '(х0) (х х0)+У^ (х x0f + ...,

где у (х0) = у0, у'(х0) =f(x0, у0), а дальнейшие производные у1я) (х0) последовательно находят с помощью дифференцирования уравнения y'—f(x, у) и подстановки вместо х числа д:0,

Ряды Фурье позволяют выделить периодические (сезонные) колебания, свойственные многим экономическим явлениям. Для изучения периодических колебаний некоторого экономического показателя f(i), зависящего от времени, функцию /(/) раскладыа ш

вают в ряд Фурье ~ + £ (ап cos nt + bn sin nt) (для практических

2 л-1

целей достаточно рассмотреть лишь несколько первых членов этого ряда).

Чаще всего сама функция ДО неизвестна, известен лишь конечный набор ее значений f(t1),f(t2), ■■■ В этом случае приходится вычислять коэффициенты ряда Фурье приближенно. Для приближенных вычислений коэффициентов ряда Фурье существует большое количество различных методов.