Раздел Їх методы оптимизации 9.1. оптимизационные задачи
Раздел Їх методы оптимизации 9.1. оптимизационные задачи
Пусть f(x) — функция, определенная на множестве V, а О — некоторое подмножество множества V.
Оптимизационная задача задается тройкой (V,f, О). При этом функция f(x) называется целевой функцией, а О — допустимым множеством (множеством допустимых решений) оптимизационной задачи.
Оптимизационные задачи бывают двух типов: задачи минимизации и задачи максимизации. Задача минимизации (максимизации) (V.f, П) состоит в отыскании наименьшего (наибольшего) значения целевой функции f(x) на допустимом множестве О.
Для того чтобы решить задачу минимизации (максимизации) (V.f, П), достаточно найти ее оптимальное решение, т. е. указать л:0еП такое, что f(x0)^f(x) (f(x0)^f(x)) при любом xefl.
Оптимизационная задача называется неразрешимой, если она не имеет оптимального решения. В частности, задача минимизации (максимизации) (V, f, £1) будет неразрешимой, если целевая функция f(x) не ограничена снизу (сверху) на допустимом множестве 12.
Решить оптимизационную задачу — значит либо найти ее оптимальное решение, либо установить неразрешимость этой задачи.
Любая задача максимизации (V,f, П) сводится к задаче минимизации (V, —f. Сі): эти задачи либо обе неразрешимы, либо имеют одно и то же оптимальное решение.
Две задачи минимизации (максимизации) называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество допустимых решений и на любом допустимом решении значения целевых функций этих задач совпадают. Эквивалентные оптимизационные задачи либо обе неразрешимы, либо имеют одно и то же оптимальное решение.
Задачи (V.f, П) и (V,f, £1) имеют одни и те же оптимальные решения, если при любом xeD справедливо равенство
f(x) = Xf(x)+nt где к, р — некоторые числа и А>0.
Методы решения оптимизационных задач зависят как от вида целевой функции, так и от строения допустимого множества П.
Методы решения оптимизационных задач, в которых целевая функция является функцией п переменных, часто называют методами математического программирования. (Термин «программирование» в данном случае обусловлен тем, что в задачах ищется некоторая программа действий). В математическом программировании традиционно выделяют следующие основные разделы: линейное программирование, целочисленное программирование, выпуклое программирование.
Методы решения оптимизационных задач, в которых целевая функция представляет собой функционал на некотором множестве функций или вектор-функций, рассматриваются в вариационном исчислении и в теории оптимального управления.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы