9.13. опорные решения транспортной задачи
9.13. опорные решения транспортной задачи
При этом каждому неизвестному
хч (i=, 2, т; 2, л)
соответствует клетка (j, J) транспортной таблицы.
Циклом в транспортной таблице называют замкнутую ломаную линию, удовлетворяющую следующим трем условиям:
Рис. 9.4
1) все вершины ломаной находятся в клетках таблицы;
ребра ломаной расположены по строкам или по столбцам таблицы;
к каждой вершине подходят ровно два ребра, причем одно — по строке, а другое — по столбцу (рис. 9.4).
Пусть <х=(хп;
Набор клеток транспортной таблицы называют ацикличным набором, если не существует цикла, все вершины которого расположены в клетках этого набора
...; х\%п) — допустимое решение транспортной задачи (9.39) — (9.42). Ненулевые координаты а запишем в соответствующие клетки транспортной таблицы 9.5. Допустимый вектор ос является опорным решением транспортной задачи тогда и только тогда, когда набор заполненных клеток ацикличен.
Опорное решение транспортной задачи можно построить методом «минимального элемента». Для этого среди всех клеток табл. 9.5 выбираем клетку с наименьшим си (если таких клеток несколько, то берем любую из них).
Пусть (г, s) — такая клетка. Полагаем xrj = min{a,, bs}. Если xn=ar, то, заменив Ь, на b,= b3—ar, вычеркиваем r-ю строку транспортной таблицы. При х„=Ь, заменяем число аг на а,—а,—Ь, и вычеркиваем s-іл столбец (если х„ = ar — bs, то вычеркиваем r-ю строку н s-н столбец одновременно). В результате получаем новую таблицу меньшего размера, для которой повторяем указанную процедуру. Через конечное число шагов будет построено опорное решение.
Предположим, что а = (х°и; ...; хЦ ...; х°„) — некоторое опорное решение транспортной задачи. Ненулевые координаты а запишем в соответствующие клетки транспортной таблицы. Если заполненных клеток окажется меньше, чем т + п—1 клетка, то дополнительно в некоторые клетки допишем нули так, чтобы в результате образовался ацикличный набор из т + п—1 заполненных клеток (в этом случае векторы условий, соответствующие заполненным клеткам, составляют базис опорного решения а).
Потенциалами опорного решения а называют числа ы, (i=l, 2, т) и vj (/'= I, 2, п) такие, что
и,+Ч=си (9.43) для всех заполненных клеток (j, j).
Соотношения (9.43) представляют собой систему т+п— 1 линейных уравнений с т+п неизвестными. Эта система всегда совместна, причем одно из неизвестных можно положить равным любому числу и тогда все остальные неизвестные определятся однозначно.
Достаточное условие оптимальности опорного решения. Пусть Ui (і= 1, 2, m) и ьґ (/= 1, 2, п) — потенциалы опорного решения а транспортной задачи (в транспортной таблице заполнены клетки, образующие ациклический набор).
Если для всех незаполненных клеток (i,J) ы,+иу< Сц, то а — оптимальное решение транспортной задачи.
Для отыскания потенциалов данного опорного решения необходимо найти некоторое решение системы линейных уравнений:
+ 2, и3+у2 = 8,
"2 + «1 = 1» і«3+«з~13,
Полагая их — 0, получаем v1 = 2, и2 — , v2=4, и3 = 4, и3 = 9, w4=3. Проверка показывает, что для всех незаполненных клеток
Следовательно, данное опорное решение оптимально.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы