1.17. многочлены
1.17. многочлены
Многочленом от неизвестного д: называют выражение вида
а0хл + а1х'' ' + ... + a„-iX + a,
где до, Дп-і, Дя — некоторые числа.
Числа oq, а, а„_ і — коэффициенты при степенях л:,
а а„ — свободный член многочлена.
Наивысшую степень х, входящую в многочлен с ненулевым коэффициентом, называют степенью многочлена. Степень многочлена / (х) обозначают degf (х).
Два многочлена считают равными, если при одинаковых степенях х стоят равные коэффициенты.
Многочлены можно складывать и перемножать. Например, если f(x)~x3 — 2х2 — 3, а <р (х)=х2 — х+2, то
f(x) + <p (х) = (х*-2х2-3) + (х2-х + 2)=х*-х2-х-1; /(х)<р(х) = {хъ-2х2-3) (xz-x + 2) = xs-2x4--3x2-~ х4 + 2х3 + Зх+2хъ ~4х2 6 = х5 Зх4 + Ах3 7х2 + Зх-6
Для любых двух многочленов f(x) и q> (х) можно найти такие многочлены q (х) и г (х), что
f(x)=<p(x)q{x) + r{x),
где degr (x)<deg(p (х) или г (х) = 0. Многочлены q (х) и г (jc), удовлетворяющие этому условию, определены однозначно. Их
соответственно называют частным и остатком от деления / (х) на (р (х).
О Пример. Разделить многочлен f (х) = 2хъ~Ъх2--5х—4 на ф(х)=х2-4х+3.
Имеем
2лг3-Зл-2 + 5*-4 х2-4х+3 2jc3-8jc24-6x 2х+5
5д:2х-4 5л:2-20д:+15
19х19
Здесь q (х) = 2х+5 — частное, г (х)= 19*—19 — остаток от деления / (х) на (р (л). #
Если остаток от деления многочлена / (х) на многочлен <р (х) тождественно равен 0, т. e.f(x) = <p (х) q (х), то говорят, что/(.х) нацело делится на q> (х). Число ос называют корнем многочлена
f{x) = a0xn+alxn~~^ + ... + an-ix + a„, если
/'(a) = aoCt + ata" 1 + + а„-іа + ая = 0.
Например, число х-2— корень многочлена f (х) = Ъх3 — 2хг — -10x4-4, так как/(2) = 3-23-222-10'2 + 4 = 0. Свойства корней многочлена
1°. Многочлен степени п не может иметь более чем л различных корней.
2°. Если а — корень многочлена / (х), то/ (х) нацело делится на (ха), т. e.f(x) = (x-a)q (х).
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы