12.3. интерполяционная формула лагранжа
12.3. интерполяционная формула лагранжа
Пусть поставлена задача о построении фунхции такой, что L(xk)=f(xk), к—0, 1, 2, л. Часто такие функции строят в виде обыкновенных многочленов
L (х)=а0+а1х+а2х2 + ...+аяхя.
Чтобы найти коэффициенты щ интерполирующего многочлена возможно низшей степени, принимающего в точках х0, х±, .... х„ заданные значения, нужно решить систему уравнений относительно О).
' а о+a j х0+а 2х I+... + а, х 3 = у0,
<*о++ а2х +... + йп х =ух,
а0+аіх2 + а2хі+... + апхї=уї. -<12'1)
. а0 + а &+аг х +... + ая х "я=уй,
где )>, =/(*,) (і = 0, 1, 2, я).
Многочлен, коэффициенты которого определяются из системы (12.1), называется интерполяционным многочленом Лагранжа L*(x) для функции f(x) и может быть записан в виде
■ (х-хв)(х-х1).-.(х-Хі-і)(х-хі+і)...(.х-хв)
Ln(x) = У — . —у1.
(_0 (Xt-X^fa-Xi) ... (Xi~X(d(Xi~Xl+i)... (Xj-Xn)
Интерполяционная формула Лагранжа при п=2 имеет вид
L2(x)=y0 +Уї h
(**-*і)(*о--*ї) С*і--""о)(*і-*ї) (x-jf0)(x-jc,)
+ ^2"
(*і-*о)(*і-*і) при П — Ъ — ВИД
, , ч (х-х1)(х-х2)(х-х3) (х~х0)(х-х2)(х-х3)
Ln(x)=y0 +yt +
(*0 *l) (*0 xl) (ХВ ХЪ) (Х1-Х0)(Х1-Х2)(Х1-ЛГз)
(*-дс0)(ж-ж,)(ж-лг,) (x-xjix-x^ix-xj
+Уі — Уз •
(*а *о) (Х1 ~хі) (хі хз) (хз хо) Іхі Х1) (*з -*ї)
О Пример. Построить многочлен наименьшей степени, принимающий в данных точках х0 = 1, х1 = 3, х2=6 значения функции уо=10, 7: = 16, у2 = 4.
Подставляя данные значения в интерполяционную формулу L2 (jc), имеем
L,(jc) = 10 h 16 1-4 ,
(і-з)(і-в) (з-і)(з-б) (б-і)(б-3)
£2(х)=2,8-8,6л-1,4х2. •
Заметим, что если функция f(x) задана аналитически и имеет в рассматриваемом интервале достаточное число непрерывных производных, то погрешность, получающаяся от замены f(x) интерполяционным многочленом Лангранжа, равна f(x)-La(x) = Ґ+)(0,
(л + 1)!
где f — некоторое промежуточное значение между наибольшим, и наименьшим из чисел х, х0, хх .... хя.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы