12.6. интерполирование сплайнами

12.6. интерполирование сплайнами

Для повышения точности аппроксимации функции интерполяционными многочленами необходимо увеличивать число узлов интерполяции, что, в свою очередь, приводит к увеличению степени этих многочленов. Разбиение же заданного отрезка на несколько частей с построением на каждой части самостоятельного интерполяционного многочлена неудобно тем, что «на стыках» первая производная двух соседних интерполяционных многочленов может терпеть разрыв. Поэтому во лногих задачах удобнее использовать сплайны.

Разобьем заданный отрезок [а, Ь] на п частей точками а=х0<х1<...<хя=Ь. Сплайном Sm(x) называется функция, определенная на отрезке [а, Ь] и имеющая на нем непрерывную производную (т— 1)-го порядка, которая на каждом частичном отрезке [jcj, совпадает с некоторым многочленом степени не выше т; при этом хотя бы на одном из частичных отрезков степень многочлена точно равна т.

Сплайн, принимающий в узлах х, те же значения fit что и некоторая функция f(x), называется интерполяционным.

На практике широко применяют сплайны третьей степеш1 (кубические сплайны S3(x)}. Для построения интерполяционное кубического сплайна разобьем отрезок [а, Ь] на п равных частин ных отрезков длины h=(b~a)/n. В этом случае кубически;, сплайн на отрезке [xh хі+і], і—0, 1, m—1, запишется в следу ющем виде:

<*,+1 х)2 (2 (х-хд+Л) (х-хд1 (2 ,-*)+*)

5з(х)= „ fi+ _ ft+l +

(xi+i-xfix-xi) (x-X^iX-Xj+i)

+; -2 m,+ m,+ i, , (12.5)

n h

где m,, m,+1—некоторые числа. При этом 53(Xj)=»i„ jSj(jf(+i)=m(+i.

Кубический сплайн (12.5) на каждом из промежутков [хи xi+l] непрерывен вместе со своей первой производной всюду на [а, Ь]. Выберем величины т, так, чтобы была непрерывна и вторая

производная. Условие непрерывности второй производной в точках xlt 1= 1, 2, л— 1, принимает вид

3

т,-_,+4т,+т,+1=-СЛ+і-УЇ-і), і'= 1, 2, л-1. (12.6)

Л

Выражение (12.6) — система линейных алгебраических уравнений относительно лі,. Для однозначного определения т( добавляют еще два условия. Эти условия задают в виде ограничений на значения сплайна и его производных на концах промежутка [а, Ь] и называют краевыми.

Существует несколько различных видов краевых условий, из которых наиболее употребительными являются следующие:

I. 5Э(a) =f (а), II. 5*,(а) =/" (a), III. S?(a) = S?(Ь),

S, (b) =f(b). S\{b)=f"(b). г =1,2.

Условия типа III называются периодическими. Их применяют в том случае, если интерполируемая функция f(x) периодическая с периодом Ъ — а.

В случае краевых условий типа I система уравнений для определения т{ имеет вид

лі,_і+4«і,+т1+1=(3/я)(/;+1-у;.і), і=1, 2, и-1.

Для краевых условий типа II система уравнений для определения ті такова:

;

7т0 +mt =(3/А) ft-/0)-^/* 2тя + /ля_, =(3/й) (/„-/,„,)+*/; m^i+4m(+m1+1 = (3/A)(/;+i-y;_i), i=l, 2, л-1.

Если f(x) — периодическая функция, то, полагая f0=fn, fn+i—fi, т0=тп, т1=т„+1, можно записать следующую систему для определения т,:

4m1+m1 + m„ = (3/A)(/2-./0), (l2.7) mj„,+4ml-(-m,_1 = (3/A)(/;+i-/_i), i=2, л-1, mt + , + 4тп=(З/А) (ft ,).

Матрицы систем во всех трех случаях не вырождены, поэтому системы имеют, и притом единственное, решение. Решив соответствующую заданным краевым условиям систему уравнений, находят rrii. Затем по формуле (12.5) строят сплайн на каждом частичном отрезке [xh х|+ J.

О Пример. Сплайн-интерполяция функции /(x) = sinx, п=4. Функция /(x) = sinx — периодическая.

Воспользуемся системой уравнений (12.7):

b—а к

т1 +4т2 + тъ = 12/тг, /и2+4т3 + т4 = 0, , т1 + т3+4/я4= 12/я.

Решив систему, имеем: т1 = тъ = 0> тг = — 3/я, /и4=3/я. Подставляя т( в формулу (12.5), получим сплайн-функцию:

---хэ + -х, 0<х<-, я3 ж 2

4 , ., 3 я

~,(х-я)3--(х-я),

я3 я 2 '

4 3 3

— (х — я)3— ~(х — 7Г), Я<Х^-Я,

я я 2

4 3 3

— (х-2я)3 + -(х-2я), -я^х<2я.