13.4. формула полной вероятности и формула байеса

13.4. формула полной вероятности и формула байеса

Если события Ау, Аг,.... А„ образуют полную группу событий, то вероятность события В может быть найдена по формуле полной вероятности как сумма произведений безусловных вероятностей указанных событий на условные вероятности события В:

Р(В)=£рМР(ВЩ. (13.1) i-i

В тех случаях, когда требуется определять вероятности событий Ау, А2, .... Ап при условии, что событие В уже произошло, используется формула Байеса:

Р{Лк)Р{В1Лк)

Р(Ак1В)=~ .

i-i

О Пример. На складе имеется 12 изделий, изготовленных на предприятии 1, 20 изделий — на предприятии 2, 18 изделий — на предприятии 3. Вероятности качественного изготовления изделий на этих предприятиях соответственно равны 0,9; 0,6; 0,9. Найти вероятность того, что произвольно взятое изделие будет качественным.

Вероятности выбора изделия соответствующего предприятия таковы:

і>(Л) = 12/50, Р(Аг)=20150, Р(А3)=Щ50. Искомая вероятность находится по формуле (13.1):

Р(уЗ)=-0)9 + --0,6+-0,9 = 0,78. •

50 50 50

13.5. Распределение вероятностей события. Формулы Бернулли и Пуассона

Распределение вероятностей события А часто описывается формулой биномиального распределения (формулой Бернулли):

P.(m)=rC?pmq-m, (13.2)

где Ря(т) — вероятность появления ровно т раз события А в серии из п опытов; С™ — число сочетаний из п элементов по т; р — вероятность появления события А в одном опыте; q = l—p.

О Пример. Предприятие выпускает телевизоры. Вероятность неисправности телевизора />=0,01. Проверяется партия из пяти телевизоров. Определить вероятность того, что два из них будут неисправны.

На основании формулы (13.2)

Р5 (2) = Срг Чъ = (10 -2)2 (0,99)3 = 0,00097. *

При большом числе опытов вычисления по формуле (13.2) становятся громоздкими. Поэтому на практике обычно используют пуассоновское приближение к биномиальному распределению, точность которого увеличивается при увеличиении числа опытов и уменьшении вероятности р. Оно задается формулой Пуассона:

т

P„(m)=~t(13.3) т!

где Я — среднее значение числа появлений рассматриваемого события в серии опытов, представляющее собой произведение Х=пр.

О Пример. В условиях предыдущего примера определить вероятность того, что в партии из 200 телевизоров два неисправных.

Здесь удобнее использовать формулу Пуассона (13.3): ^оо(2)=^е-А, Я=2, P2oo(2)=V2 = 0,27.

Вероятность появления т раз события А на заданном интервале времени / находят по формуле Пуассона, которая в этом случае принимает вид

где А — интенсивность события, т. е. среднее число событий в единицу времени.

Ряд экономических задач сводится к так называемой «урновой схеме». Суть ее в следующем. В урне находится N шаров, из которых М белых. Из урны извлекается л шаров. Требуется определить вероятность того, что среди них т белых шаров.

Вероятность этого события определяется формулой

С С"'"

с;

О Пример. В магазин поступила партия, состоящая из 300 изделий. Известно, что 5 изделий имеют производственный дефект. Определить "вероятность того, что при покупке 10 изделий будет обнаружено одно бракованное.

Общее число сочетаний из 300 по 10 изделий равно

/"10 _

290! 10!

Число способов выбора из 5 бракованных изделий одного равно

П4Г

Число сочетаний из 295 по 9 качественных изделий таково:

М" 28619!

295!

С-=

Находим вероятность

„ 295! 5! 290! 10! „

Р»5 эоо (1,Ю) = = 0,147.

т- v 286! 9! 41300!

П-42І

321

13.6. Случайные величины

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принимать различные заранее не известные значения.

Случайные величины можно разделить на два основных вида: дискретные и непрерывные.

Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любое значение из конечного или бесконечного счетного множества значений, т. е. такого множества, элементы которого могут быть занумерованы в каком-нибудь порядке и выписаны в последовательности xlt хг, хп, ....

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые не известные заранее значения из рассматриваемого участка или интервала.

13.7. Функция распределения н плотность распределения случайной величины

Характеристикой случайной величины служат вероятности появления различных ее значений. Для их задания используют функцию распределения вероятностей случайной величины

F(x)

Р,+Рг

х1 х2 *Э

Рис. 13.1

р2, .... ря, P{X=x^=p,{i=, 2,

определяется формулой

F(x)=P(X<x),

где Р(Х<х) — вероятность выполнения неравенства X<xt рассматриваемая как функция переменной х.

Если X — дискретная случайная величина, возможные значения которой пронумерованы в порядке их возрастания xlt хг,.... хн и вероятности этих значений равны соответственно plt п), то функция распределения

ад=1 л.

Эта функция изменяется ступенчато при значениях xt, х2, хл (рис. 13.1).

Для непрерывной случайной величины ее функция распределения непрерывна.

Производная от функции распределения непрерывной случайной величины называется плотностью распределения вероятно-cmeuf(x)=F'(x).

В свою очередь, функция распределения через плотность рас пределения выражается формулой

*■(*)= ]mdz.